有理分式的Z3优化

我试图解决一个具有以下特征的约束问题：

• 4表示实数的变量
• 几个有理分式不等式，涉及小次数（4）的多项式，带有恼人的OR

我复制上述约束条件（注意或）

我期望“UNSAT”（对于N=4，这实际上是一个定理，但我希望超过4！）

不幸的是，z3无法解决第一个问题。任何关于战术或其他工具的想法或建议都将不胜感激

[S_0 >= S_1,
 S_1 >= S_2,
 S_2 >= S_3,
 S_3 >= 0,
 Or((S_0/(S_0 + S_1))*(S_0/(S_0 + S_3))*(S_1/(S_1 + S_2)) +
    (S_0/(S_0 + S_2))*(S_0/(S_0 + S_3))*(S_2/(S_2 + S_1)) <
    (S_0/(S_0 + S_3))*(S_1/(S_1 + S_0))*(S_1/(S_1 + S_2)) +
    (S_1/(S_1 + S_2))*(S_1/(S_1 + S_3))*(S_3/(S_3 + S_0)),
    (S_0/(S_0 + S_3))*(S_1/(S_1 + S_0))*(S_1/(S_1 + S_2)) +
    (S_1/(S_1 + S_2))*(S_1/(S_1 + S_3))*(S_3/(S_3 + S_0)) <
    (S_0/(S_0 + S_3))*(S_2/(S_2 + S_0))*(S_2/(S_2 + S_1)) +
    (S_2/(S_2 + S_1))*(S_2/(S_2 + S_3))*(S_3/(S_3 + S_0)),
    (S_0/(S_0 + S_3))*(S_2/(S_2 + S_0))*(S_2/(S_2 + S_1)) +
    (S_2/(S_2 + S_1))*(S_2/(S_2 + S_3))*(S_3/(S_3 + S_0)) <
    (S_1/(S_1 + S_2))*(S_3/(S_3 + S_0))*(S_3/(S_3 + S_1)) +
    (S_2/(S_2 + S_1))*(S_3/(S_3 + S_0))*(S_3/(S_3 + S_2)))]

[S_0>=S_1，
S_1>=S_2，
S_2>=S_3，
S_3>=0，
或（S_0/（S_0+S_1））*（S_0/（S_0+S_3））*（S_1/（S_1+S_2））+
（S_0/（S_0+S_2））*（S_0/（S_0+S_3））*（S_2/（S_2+S_1））<
（S_0/（S_0+S_3））*（S_1/（S_1+S_0））*（S_1/（S_1+S_2））+
（S_1/（S_1+S_2））*（S_1/（S_1+S_3））*（S_3/（S_3+S_0）），
（S_0/（S_0+S_3））*（S_1/（S_1+S_0））*（S_1/（S_1+S_2））+
（S_1/（S_1+S_2））*（S_1/（S_1+S_3））*（S_3/（S_3+S_0））<
（S_0/（S_0+S_3））*（S_2/（S_2+S_0））*（S_2/（S_2+S_1））+
（S_2/（S_2+S_1））*（S_2/（S_2+S_3））*（S_3/（S_3+S_0）），
（S_0/（S_0+S_3））*（S_2/（S_2+S_0））*（S_2/（S_2+S_1））+
（S_2/（S_2+S_1））*（S_2/（S_2+S_3））*（S_3/（S_3+S_0））<
（S_1/（S_1+S_2））*（S_3/（S_3+S_0））*（S_3/（S_3+S_1））+
（S_2/（S_2+S_1））*（S_3/（S_3+S_0））*（S_3/（S_3+S_2））]

看起来z3被这个问题卡住了，但mathsat和cvc4都做得很好。以下是SMTLib中编码的问题：

$ cat a.smt2
(set-logic QF_NRA)
(set-option :produce-models true)
(declare-fun S_1 () Real)
(declare-fun S_0 () Real)
(declare-fun S_2 () Real)
(declare-fun S_3 () Real)
(assert (>= S_0 S_1))
(assert (>= S_1 S_2))
(assert (>= S_2 S_3))
(assert (>= S_3 0.0))
(assert (let ((a!1 (+ (* (/ S_0 (+ S_0 S_1)) (/ S_0 (+ S_0 S_3)) (/ S_1 (+ S_1 S_2)))
              (* (/ S_0 (+ S_0 S_2)) (/ S_0 (+ S_0 S_3)) (/ S_2 (+ S_2 S_1)))))
      (a!2 (+ (* (/ S_0 (+ S_0 S_3)) (/ S_1 (+ S_1 S_0)) (/ S_1 (+ S_1 S_2)))
              (* (/ S_1 (+ S_1 S_2)) (/ S_1 (+ S_1 S_3)) (/ S_3 (+ S_3 S_0)))))
      (a!3 (+ (* (/ S_0 (+ S_0 S_3)) (/ S_2 (+ S_2 S_0)) (/ S_2 (+ S_2 S_1)))
              (* (/ S_2 (+ S_2 S_1)) (/ S_2 (+ S_2 S_3)) (/ S_3 (+ S_3 S_0)))))
      (a!4 (+ (* (/ S_1 (+ S_1 S_2)) (/ S_3 (+ S_3 S_0)) (/ S_3 (+ S_3 S_1)))
              (* (/ S_2 (+ S_2 S_1)) (/ S_3 (+ S_3 S_0)) (/ S_3 (+ S_3 S_2))))))
  (or (< a!1 a!2) (< a!2 a!3) (< a!3 a!4))))
(check-sat)
(get-model)

CVC4：

这两个结果都是瞬时的。z3似乎永远都在循环

我没有检查模型是否正确，所以最好确保它们是正确的，我也正确地完成了SMTLib翻译。你说你期待着

unsat

，但显然

mathsat

和

cvc4

都不同意，假设我得到的翻译是正确的

---

如果您发现cvc4和mathsat确实是正确的，您可能希望将其作为z3问题进行归档，因为这是他们应该能够处理的问题。

看起来z3被这个问题卡住了，但mathsat和cvc4都做得很好。以下是SMTLib中编码的问题：

$ cat a.smt2
(set-logic QF_NRA)
(set-option :produce-models true)
(declare-fun S_1 () Real)
(declare-fun S_0 () Real)
(declare-fun S_2 () Real)
(declare-fun S_3 () Real)
(assert (>= S_0 S_1))
(assert (>= S_1 S_2))
(assert (>= S_2 S_3))
(assert (>= S_3 0.0))
(assert (let ((a!1 (+ (* (/ S_0 (+ S_0 S_1)) (/ S_0 (+ S_0 S_3)) (/ S_1 (+ S_1 S_2)))
              (* (/ S_0 (+ S_0 S_2)) (/ S_0 (+ S_0 S_3)) (/ S_2 (+ S_2 S_1)))))
      (a!2 (+ (* (/ S_0 (+ S_0 S_3)) (/ S_1 (+ S_1 S_0)) (/ S_1 (+ S_1 S_2)))
              (* (/ S_1 (+ S_1 S_2)) (/ S_1 (+ S_1 S_3)) (/ S_3 (+ S_3 S_0)))))
      (a!3 (+ (* (/ S_0 (+ S_0 S_3)) (/ S_2 (+ S_2 S_0)) (/ S_2 (+ S_2 S_1)))
              (* (/ S_2 (+ S_2 S_1)) (/ S_2 (+ S_2 S_3)) (/ S_3 (+ S_3 S_0)))))
      (a!4 (+ (* (/ S_1 (+ S_1 S_2)) (/ S_3 (+ S_3 S_0)) (/ S_3 (+ S_3 S_1)))
              (* (/ S_2 (+ S_2 S_1)) (/ S_3 (+ S_3 S_0)) (/ S_3 (+ S_3 S_2))))))
  (or (< a!1 a!2) (< a!2 a!3) (< a!3 a!4))))
(check-sat)
(get-model)

CVC4：

这两个结果都是瞬时的。z3似乎永远都在循环

我没有检查模型是否正确，所以最好确保它们是正确的，我也正确地完成了SMTLib翻译。你说你期待着

unsat

，但显然

mathsat

和

cvc4

都不同意，假设我得到的翻译是正确的

---

如果您发现cvc4和mathsat确实正确，您可能希望将其作为z3问题提交，因为这是他们应该能够处理的问题。

谢谢！令人尴尬的是，问题在于我的约束中有一个输入错误：变量应该是正的（而不是零）。在Mathsat和CVC4发现的两个解中，有零，这实际上导致有理分数变为香蕉（无限），因为分母消失。将约束“S_3>=0”更改为“S_3>0”会使z3更快乐，并且它会回答unsat（大约20秒后）。请注意，SMTLib是一个总函数逻辑。也就是说，除以0的定义是完美的。解算器可以将任何值指定给除以0的结果。起初这听起来可能令人惊讶，但这是正确的做法：从本质上说，这确保了如果你得到一个

unsat

，那么它就是

unsat

，而不管用0除法的解释是什么；这是在自动定理证明程序（如SMTLib）中实现部分函数的常用策略，它试图形式化。谢谢！令人尴尬的是，问题在于我的约束中有一个输入错误：变量应该是正的（而不是零）。在Mathsat和CVC4发现的两个解中，有零，这实际上导致有理分数变为香蕉（无限），因为分母消失。将约束“S_3>=0”更改为“S_3>0”会使z3更快乐，并且它会回答unsat（大约20秒后）。请注意，SMTLib是一个总函数逻辑。也就是说，除以0的定义是完美的。解算器可以将任何值指定给除以0的结果。起初这听起来可能令人惊讶，但这是正确的做法：从本质上说，这确保了如果你得到一个

unsat

，那么它就是

unsat

，而不管用0除法的解释是什么；在自动定理证明程序（如SMTLib）中实现部分函数是一种常见的策略，SMTLib试图将其形式化。

$ cvc4 a.smt2
sat
(model
(define-fun S_1 () Real 0.0)
(define-fun S_0 () Real 1.0)
(define-fun S_2 () Real 0.0)
(define-fun S_3 () Real 0.0)
)