Algorithm 四面体三角形相交的检验

我想确定给定的三角形是否与四面体相交。我不想计算解决方案多边形（如果存在）本身。是否有任何库/包/已发布的实用算法可用于直接解决此问题（与我下面的尝试不同）

我认为作为最后的手段，我将不得不使用标准多边形相交算法实现来间接解决这个问题

我对这个问题的尝试：
我想把它分解成多边形相交的问题。因此，对于四面体的每个三角形面（比如说

T1

）和给定的三角形

T2

，我考虑执行以下操作：

计算每个三角形对应的平面之间的交点（一条线），例如

L1

对于每个三角形：

对于三角形的每条边，比如说

L2

，计算

L1

和

L2

之间的交点

P

如果点位于边缘

L2

，则测试

L2

（可能使用参数形式）

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如果对于两个三角形

T1

和

T2

，至少存在一条相交点

p

所在的边，则表示三角形（以及给定的四面体和三角形

T2

）确实相交。

我刚在CGAL库中找到一个函数，用于计算两个几何对象之间的相交。它允许

Type1

和

Type2

分别为和。

基于三角形创建正交框架（原点在某个顶点，X轴使用某一侧的方向，Y轴和Z轴使用另一侧的方向和Gram Schmidt公式）

将3+4个顶点的坐标变换到新帧

如果四个四面体顶点的所有Z都具有相同的符号，则不存在交点。否则，通过Z上的线性插值，找到边到XY的3或4交点

现在您需要检查三角形和三角形或（凸）四边形之间的交点，在2D中。你们可以通过一个标准来解决这个问题，这个标准通过多边形的凸性变得简单

作为一个简单的优化，请注意，在知道可能存在交点之前，计算三角形顶点的Z（=0）和四面体顶点的XY是无用的

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您还可以通过首先使用边界框测试来加速多边形相交过程。

由于几何实体的凸性，您可以将问题转换为7个正未知数的线性程序，其中D方程表示允许的点属于四面体和三角形的内部。用单纯形算法求解。@YvesDaoust请详细说明这7个未知数是什么？顶点凸组合的权重（3表示三角形，4表示四面体）@依我所知，这个四面体三角形相交问题可以转化为一个线性可行性问题，其中约束方程可以是：alphaP{tet}=betaP{tri}，其中alpha，beta分别是四面体和三角形点的权向量，P{tet}和P{tri}分别是四面体和三角形的坐标向量，就是这样。当线性问题可行时，存在一个交集。从代数角度讲，通过评估多个4x4行列式的符号（“我在这个平面的哪一边？”=“单形的符号体积”）并讨论结果，问题得以解决。这和我在回答中使用的机器是一样的（可能还有边界盒测试），其中部分工作在二维空间中进行，使用3x3行列式。我认为这不是一个有效的解决方案。我在2D中描述了一个反例，其中没有交叉点，但您的方法将报告一个交叉点。三角形是线段，四面体是三角形。@Gus：你误解了我的解决方案。如果你能解释一下我的误解，或者澄清一下你的解决方案，那会有帮助的。