Algorithm 计算算法的时间复杂度

这里有一个算法，它应该返回给定多项式的p（x）的多项式值

A[]是系数数组，p[]是x数组的幂

（例如，x^2+2*x+1将有：A[]={1,2,1}，p[]={2,1,0}）

另外，recPower（）=O（logn）

我如何计算这个时间复杂度？我对if的声明感到困惑。我不知道递归关系是什么。

这可能会有帮助：

T(#terms) = 2T(#terms/2) + a
T(2) = 2logn + b

其中a和b为常数，#项指多项式中的项数。

---

这个递归关系可以用马斯特定理或递归树方法来解决。

以下观察可能会有所帮助：只要我们有

r=l+1

，我们就花O（logn）时间，我们就完成了

我的回答需要对这些问题有很好的理解。因此，明智地行事

因此，我们的目标是找到：经过多少次迭代之后，我们能够判断r=l+1吗？

让我们了解一下：

聚焦于

返回多项式（x，A，p，l，m）+多项式（x，A，p，m，r）

让我们先考虑左函数<代码>多项式（x，a，p，l，m）< /c>。需要注意的关键是，
l
，在所有后续递归调用的左函数中保持不变

左函数是指多项式（x，A，p，l，m）

，右函数是指

多项式（x，A，p，m，r）

对于左函数

多项式（x，A，p，l，m）

，我们有：

第一次迭代

l = l and r = (l + r)/2

l = l and r = (l + (l + r)/2)/2

l = l and r = (l + (l + (l + r)/2)/2)/2

l = l and r = (l + (l + (l + (l + r)/2)/2)/2)/2

第二次迭代

l = l and r = (l + r)/2

l = l and r = (l + (l + r)/2)/2

l = l and r = (l + (l + (l + r)/2)/2)/2

l = l and r = (l + (l + (l + (l + r)/2)/2)/2)/2

也就是说

r = (2l + l + r)/2

r = (4l + 2l + l + r)/4

r = (8l + 4l + 2l + l + r)/8

第三次迭代

l = l and r = (l + r)/2

l = l and r = (l + (l + r)/2)/2

l = l and r = (l + (l + (l + r)/2)/2)/2

l = l and r = (l + (l + (l + (l + r)/2)/2)/2)/2

也就是说

r = (2l + l + r)/2

r = (4l + 2l + l + r)/4

r = (8l + 4l + 2l + l + r)/8

第四次迭代

l = l and r = (l + r)/2

l = l and r = (l + (l + r)/2)/2

l = l and r = (l + (l + (l + r)/2)/2)/2

l = l and r = (l + (l + (l + (l + r)/2)/2)/2)/2

也就是说

r = (2l + l + r)/2

r = (4l + 2l + l + r)/4

r = (8l + 4l + 2l + l + r)/8

这意味着在第n次迭代中，我们有：

r = (l(1 + 2 + 4 + 8 +......2^n-1) + r)/2^n 

而终止条件为

r=l+1

求解

（l（1+2+4+8+…2^n-1）+r）/2^n=l+1

，我们得到

2^n = r - l

这意味着

n=log（r-l）

。有人可能会说，在左函数的所有后续调用中，我们忽略了另一个调用，即右函数调用。原因是：

因为在正确的函数调用中，我们

l=m

，其中m已经是一个减少的值，当我们取平均值时，

r=r

，它甚至是更平均的值，这渐近地不会对时间复杂度产生任何影响

因此，我们的递归树将具有最大深度=log（r-l）。的确，并不是所有的层次都会被完全填充，但为了简单起见，我们在渐进分析中假设这一点。因此，在达到

log（r-l）

深度后，我们调用函数

recPower

，这需要O（logn）时间。深度

log（r-l）

is

2^（log（r-l）-1）

处的节点总数（假设上述所有级别都已满）。对于单个节点，我们需要O（logn）时间

---

因此我们有总时间=O（logn*（2^（log（r-l）-1））

如果recPower是O（1），那么多项式就是O（n）。现在，随着recPower的logn的增加，我被卡住了，我明白了必须分别用T（2）来做一些事情。这可以通过更换来解决吗？需要详细说明吗？请随时查询。在计算时间复杂度之前，您确定代码是正确的吗？在我看来，这是错误的，

r

是包含的还是独占的？底部的递归调用表明它是独占的（因为否则

m

会出现在递归的左半部分和右半部分），但基本情况表明它是包含的（因为否则

A[r]

是一个错误）。它的目的似乎是计算i=0…n-1的

sum（A[i]*recPower（x，P[i]）

其中

A

和

P

数组的长度均为

n

。对于这项任务，“分而治之”没有什么好处（至少在你做这项任务的方式上是这样的）——它只会增加工作量，并会影响效率。如果代码是正确的，你可以忽略递归，只需观察总工作量是

sum（log（P[i]），对于i=0..n-1）+Theta（n）

。假设

P

是递减的，并且您对上限没有问题，您可以将其简化为O（n*log（P[0]）+n）。还有一个注释：您说“recPower（）是O（logn）”，但您的确切意思是什么？我假设你的意思是“recPower（x，n）是O（logn）”，但有些答案假设你对任何I都是指“recPower（x，I）是O（logn）”。如果第二个意思是正确的，那么n是什么？