Algorithm 在O（n）时间内增加平方矩阵？

假设我们有两个大小相同的方阵

n

，分别命名为

A

和

B

A

和

B

共享一个属性，即它们的主对角线中的每个条目都是相同的值（即，

A[0,0]=A[1,1]=A[2,2]…=A[n，n]

和

B[0,0]=B[1,1]=B[2,2]…=B[n，n]

）

---

是否有一种方法来表示

a

和

B

，以便它们可以在O（n）时间内相互添加，而不是O（n^2）？

一般来说：否。

对于

n

x

n

矩阵，有

n^2

输出值要填充；这需要

O（n^2）

时间

在您的情况下：否。

即使输入/输出值的

O（n）

是依赖的，也会留下独立的

O（n^2）

。因此，没有一种表示方法可以将整个运行时减少到

O（n^2）

以下

但是…

---

为了减少运行时间，有必要（但不一定足够）将依赖值的数量增加到

O（n^2）

。显然，这是否可能取决于特定的场景…

为了补充Oli Cherlesworth的回答，我想指出，在稀疏矩阵的特定情况下，通常可以获得运行时间

O（n）

例如，如果您碰巧知道矩阵是对角的，那么您也知道结果矩阵将是对角的，因此您只需要计算

n

值。 类似地，可以在

O（n）

中添加频带矩阵，以及更多“随机”稀疏矩阵。通常，在稀疏矩阵中，每行非零元素的数量或多或少是恒定的（例如，从有限元计算或从图形邻接矩阵等获得这些元素），因此，使用适当的表示法，如“”或“压缩列存储”，最终将使用

O（n）

添加两个矩阵的操作

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还特别提到了次线性随机算法，它只建议您知道最终值，该值与实际解“不太远”，直到随机错误。

此外，还有

O（n^2）

独立值要计算，因此任何表示都需要

O（n^2）

时间。我不会说/any/尽管；）如果矩阵是稀疏的，那么您可以使用

O（nnz）

和

nnz

非零的数量，其中，

nnz=O（n）

。特别是，如果他的矩阵是对角的，那么你直接得到了一个

O（n）

解。@WhitAngl:在这两种情况下，O（n^2）的值是相同的，所以这与我的答案并不矛盾；）它与“需要

O（n^2）

时间”的说法相矛盾：如果你只存储对角线，那么它确实需要

O（n）

time:）@WhitAngl:“即使输入/输出值的O（n）是依赖的……”；这两种情况都不是这样。