Algorithm 寻找第一个大于N的数，它是M的相对素数

基本上，标题说明了一切。数字不是太大（N的最大值是~2/3*max（long），max M是max（long）），因此我认为即使是我目前拥有的一个简单解决方案也足够了。M总是大于N

我目前拥有的：

• 最简单的方法是，从N+1开始，执行普通的欧几里德GCD，如果它返回1，我们就完成了，如果不增加，再试一次

我想知道这个解决方案的最坏情况是什么。性能不是一个大问题，但我仍然觉得必须有更好的方法

谢谢

关于最坏的情况，我做了一个小测试：

Random r = new Random();
while (true)
            {
                long num = (long) r.Next();
                num *= r.Next();
                f((long)(num * 0.61), num);
            }

...

public static int max;

        public static int f(long N, long M)
        {
            int iter = 0;
            while (GCD(N++, M) != 1)
            {
                iter++;
            }

            if (iter > max)
            {
                max = iter;
                Console.WriteLine(max);
            }

            return 0;
        }

---

它运行了约30分钟，到目前为止最糟糕的情况是29次迭代。所以我相信有一个比O（N）更精确的答案

我不知道最坏的情况是什么，但利用M<264这一事实，我可以将其上限限制为292次迭代，下限限制为53次（消除了N/M近似固定的限制）

设p1，…，pk是大于或等于5的素数，其中M是可除的。让我们≥ N为最小整数，使得N'=1模6或N'=5模6。对于每个i=1，…，k，素数pi最多除以整数N'，N'+6，N'+12，…，N'+288的ceil（49/pi）。上界∑i=1，…，k细胞（49/pi）为∑i=3，…，16 ceil（49/qi）=48，其中q是从q1=2开始的顺序的素数。（这是因为∏i=3，…，17≥ 264意味着M是除2和3之外最多14个不同素数的乘积。）我们得出结论，所提到的整数中至少有一个与M相对素数

对于下界，设M=614889782588491410（前十五个素数的乘积），N=1。1之后，相对于前15个素数的第一个整数是第16个素数，53

我希望这两个界限都可以在不做太多工作的情况下得到改善，尽管我不清楚这是为了什么目的。对于上界，分别处理2和3都是M的除数的情况，因为M最多可以是13个其他素数的乘积。对于下限，我们可以通过运行Eratosthenes筛来计算一系列整数的素数除以这些整数的列表，从而找到一个好的M。然后在整个范围内扫一个窗口；如果窗口中不同素数的乘积过大，则推进窗口的尾端；否则，推进前端。

确保它不是O（n），通过知道素数间隔是logen，我们可以简单地说您的算法最多有logen迭代（因为在传递最多logen数后，您将看到相对于给定数的新素数

n

），以了解有关此间隔的更多详细信息，你可以看到

因此，对于有界情况，它小于logen=loge264