Algorithm 组合独立集/汉明距离的算法/逼近

输入：图G 输出：多个独立集，因此节点对所有独立集的成员资格是唯一的。因此，一个节点与它自己的集合中的任何节点都没有连接。下面是一个示例路径

因为这里需要澄清，所以需要另一种措辞：

将给定的图形划分为多个集合，以便

我可以通过节点在集合中的成员身份将其与所有其他节点区分开来，例如，如果节点i仅存在于集合a中，则不应仅存在于集合a中

如果集合A和B中存在节点j，则集合A和B中不应仅存在其他节点。如果节点的成员身份由位模式编码，则这些位模式至少有一个汉明距离

如果两个节点在图中相邻，则它们不应存在于同一集合中，因此是一个独立的集合

例如： B没有相邻的节点 D=>A，A=>D

解决方案：

A B/

/B-D

A具有位模式10且其集合中没有相邻节点。B有位模式11，没有相邻节点，D有01 因此，所有节点的汉明距离至少为1，无相邻节点=>正确

错误，因为D和A是连接的：

A、D、B

/D B

A在其集合中有位模式10和D，它们是相邻的。B有位模式11，没有相邻节点，D和B一样有11，因此此解决方案中有两个错误，因此不被接受

当然，随着图中节点数量的增加，这应该扩展到更多的集合，因为您至少需要

log（n）

set

我已经写了一个到MAX-SAT的转换，使用SAT解算器来解决这个问题。但是条款的数量太多了。更直接的方法会更好。到目前为止，我有一个近似值，但我想要一个精确解，或者至少是一个更好的近似值

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我尝试过一种方法，我使用粒子群从任意的解决方案优化到更好的解决方案。然而，运行时间非常糟糕，结果也远远不是很好。我正在寻找一个动态算法或其他东西，但我无法理解如何划分和解决这个问题。

这可能不是您可能期望的答案，但我找不到添加注释的地方。所以我直接在这里输入。我不能完全理解你的问题。还是需要特定的知识才能理解？这个独立集是什么？正如我从有向图中知道的，独立集中的一个节点有一条到该集中任何其他节点的双向路径。你的想法是一样的吗

如果此问题与我假设的类似，则可通过此算法找到独立集： 1.对有向图进行深度优先搜索，记录该节点所根树的遍历时间。 2.然后反转此图中的所有边 3.在修改后的图形上再次执行深度优先搜索。

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这本书精确地解释了algorihtm，但它并不是一个完整的答案，我不知道它对你有多有用。但这里有：

汉明距离对我来说是一条红鲱鱼。你的问题陈述说它必须至少是1，但可能是1000。可以说每个节点的集合成员身份的位编码是唯一的

您的问题陈述没有详细说明，但您上面的解决方案建议每个节点必须是至少1个集合的成员。即，任何节点的集合成员身份都不允许对所有0进行位编码

暂时忽略连接的节点，不相交的节点很容易：只需使用未使用的位编码按顺序对它们进行编号。留到最后

上面的例子使用了有向边，但我还是觉得这是在转移视线。如果A因为A=>D而不能与D在同一集合中，则无论D=>A，D都不能与A在同一集合中

您提到至少需要日志（N）集。您最多也将有N组。一个完全连通的图（具有（N^2-N）/2条无向边）需要N个集合，每个集合包含一个节点

事实上，如果你的图包含一个M维（1..N-1中的M）的完全连通单纯形，有M+1个顶点和（M^2+M）/2条无向边，你至少需要M+1个集合

在上面的例子中，有一个这样的单纯形（M=1），它有两个顶点{A，D}和一个（无向）边{（A，D）}

您的问题似乎归结为在图形中查找最大的完全连通单形。换言之，你有一个布线问题：你需要多少尺寸来布线你的边，这样就没有交叉？这听起来不是一个很容易扩展的问题

第一个大型单纯形很容易找到。每个顶点节点都会获得一个具有自己位的新集合

不相交的节点很容易。处理连接的节点后，只需按顺序对不相交的节点编号，跳过以前使用的任何位模式。从上面的例子来看，由于A和D取01和10，因此B的下一个可用位模式是11

然后，棘手的部分变成如何在创建任何具有新位的新集合之前，将任何剩余的simplex尽可能多地折叠到现有范围中。折叠时，每个节点必须使用2个或更多位（集），并且位（集）不得与任何相邻节点的位（集）相交

考虑一下，当向示例中添加另一个节点C时，上面的示例会发生什么情况：

如果C直接连接到A和D，那么初始问题就变成了寻找具有3个顶点{A，C，D}和3条边{（A，C），（A，D），（C，D）}的2-单纯形。一旦A、C和D采用位模式001、010和100，不相交B的最低可用位模式为011

另一方面，如果C直接连接A或D，但不是两者都连接，则图有两个1-单纯形。假设我们找到顶点为{A，D}的1-单纯形，首先给它们位模式01和10，问题就变成了如何将C折叠到这个范围。唯一一个至少有2位的位模式是11，但它与C连接的节点相交，因此我们必须创建一个新的集合，并将C放入其中。