Algorithm 找出线段是否完全位于多边形内部

如何确定从p边界上的点a开始到p边界上的点B结束的线段是否完全包含在p内

编辑：在这种情况下，不必检查线段与多边形边界上其他线段的交点，稍后将执行此操作

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这可以在恒定时间内完成吗？

根据编辑的描述，假设多边形很简单，它以逆时针排序的顺序表示为线段列表，查询线段的内部不与多边形的边界相交，并且对于查询线段的任一端点，我们知道哪些多边形段包含该端点

如果端点是多边形顶点，则有两种可能的情况。通过使用2D行列式测试比较相对于顶点的角度，可以在恒定时间内区分这些点

Case 1: segment not in polygon

        \ query segment
         \
*<--------*<--------*
  polygon
  interior


Case 2: segment in polygon

*<--------*<--------*
  polygon  \
  interior  \ query segment

旋转（并缩放，这并不重要）所有内容，以便查询段位于x轴上。这是通过乘以矩阵来实现的

[ a b]
[-b a]

获取新的图表

        * (ac+bd,ad-bc) = (p,q)
       /
      /
    |_     query
    *-----------* (a^2+b^2,0)
   /
  /
|_
* (ae+bf,af-be) = (r,s).

根据我们的简并假设，

（p，q）！=（0,0）

。现在，

（p，q）

位于上半平面，如果

q>0 | |（q==0&&p>0）

。否则，它在下半平面。对于

（r，s）

，情况类似

如果

（p，q）

位于上半平面，而

（r，s）

位于下半平面，则查询段位于内部。反之亦然，那么它就在外面。否则，这些点位于同一个半平面中。决定因素测试是

ps qr>0

（内部）还是

ps qr<0

（外部）。它不能相等，因为多边形很简单

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也许有比我更博学的人可以把这个测试的程度从四分之一降下来。

如果我正确理解了你的问题，你是在试图区分以下两种情况：

• AB完全在多边形内
• 除端点外，AB完全位于多边形之外

我们已经排除了AB部分位于多边形内部的情况，因为您已经测试了AB是否与每一侧相交

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在我看来，你的问题相当于问AB的中点是否包含在多边形中。维基百科有一篇很好的文章描述了如何确定这一点：。如果你想让事情在数值上保持稳定，我建议使用缠绕数方法。

我编辑了描述，但有一些限制。请你详细说明你的意思：用2D行列式测试比较相对于顶点的角度？应该比较哪些角度？@Geminus补充了详细信息。非常感谢。我不确定我是否完全理解：我必须总是这样旋转，（p，q）到（0,0）和（0,0）到（r，s）的方向是“向下”的？（0,0）是否也描述了查询段的开始或结束？@Geminus简单地说，一个简单的多边形具有这样的特性：当你逆时针沿着边界走的时候，左边的邻域总是在里面，右边的邻域总是在外面。由于查询段不穿过多边形，其内部要么完全在内部，要么完全在外部，因此我们可以从任意靠近端点的点确定整个段的状态。然后，只需观察顶点周围足够小的圆盘。

        * (ac+bd,ad-bc) = (p,q)
       /
      /
    |_     query
    *-----------* (a^2+b^2,0)
   /
  /
|_
* (ae+bf,af-be) = (r,s).