Algorithm 计算n的值选择k

评估n和k值的最有效方法是什么？ 我认为蛮力的方法是找到n阶乘/k阶乘/（n-k）阶乘

根据这一点，更好的策略可能是使用dp。有没有其他更好的方法来评估n选择k

“最有效”是一个糟糕的请求。你想让什么更有效率？那一堆？记忆？速度总的来说，我的观点是递归方法是最有效的，因为它只使用加法（一种廉价的操作），并且递归在大多数情况下不会太糟糕。功能是：

nchoosek(n, k)
{
    if(k==0) return 1;
    if(n==0) return 0;
    return nchoosek(n-1, k-1)+nchoosek(n-1,k);
}

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如果你有一个阶乘查找表，那么C（n，k）的计算会非常快。

问题在于

n/K（n-k）方法与其说是成本，不如说是
的问题
增长非常迅速，因此即使对于
nCk
的值（其完全在64位整数的范围内），中间计算也不适用。如果您不喜欢kainaw的递归加法方法，可以尝试乘法方法：

nCk==产品（i=1..k）（n-（k-i））/i

其中，
product（i=1..k）
表示当
i
取值
1,2，…，k
时所有项的乘积。计算二项式系数
（n选择k）
而不溢出的最简单方法可能是使用帕斯卡三角形。不需要分数或乘法<代码>（n选择k）

。帕斯卡三角形的第n行和第k行给出值

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。这是一个只有加法的

O（n^2）

操作，可以用动态规划求解。对于任何可以放入64位整数的数字来说，它都将是闪电般的快。

您可以使用乘法公式：

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如果要计算许多这样的组合，计算帕斯卡三角形肯定是最好的选择。正如您已经知道的递归公式，我想我可以在这里通过一些代码：

MAX\u N=100
最大值K=100
C=[[1]+[0]*范围内i的MAX_K（MAX_N+1）]
对于范围内的i（1，最大N+1）：
对于范围内的j（1，最大K+1）：
C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j]；
打印C[10][2]
打印C[10][8]
打印C[10][3]

这是我的版本，它只对整数起作用（被k除总是产生整数商），并且在O（k）处速度很快：

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我递归地编写它，因为它非常简单和漂亮，但是如果你愿意，你可以将它转换为迭代解。

最快的方法可能是使用公式，而不是帕斯卡三角形。当我们知道以后要除以同一个数时，我们就开始不做乘法了。 如果k 至少使用这种技术，你永远不会被以前用来乘法的数字除。有（n-k）乘法和（n-k）除法

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我在想一种避免所有除法的方法，在我们必须相乘的数字和我们必须除法的数字之间找到GCD。我稍后会尝试编辑。

这是一个树递归，对于n和k的大值，它可能根本不会完成。它是

O（2^n）

time和

O（n）

space。阶乘计算是

O（n）

时间和

O（1）

空间。这绝对是指数的。计算nchoosek（n，k）的复杂性至少是nchoosek（n，k），因为基本情况是0和1。如果您对动态编程也这样做，您将得到n^2的复杂性，在这里您要多次计算相同的结果。@AndrewMao每次调用此函数都会在递归树中产生2个节点。递归在n个步骤后停止（我假设k这是一个糟糕的方法，即使使用memonization.C（10^12，2）需要一万亿次加法，但乘法公式是瞬时的。阶乘计算在空间和时间方面都比递归方法有效得多。首先，您可以用

n*（n-1）*（n-2）*……*（k+1）替换
n！/k！

n！和

k！

当许多因素抵消时，完全计算

n！

没有意义。你在考虑n的范围是多少？@AndrewMorton我必须计算n选择k，其中n是@M42：这个问题不是你链接的问题的重复。这个问题要求n中k元素的所有组合，而这个任务ion只需要这些组合的数量。对于大量的n和k，该查找表可能是禁止的。此外，该表之外的值应该有一个选项。@Pedrom在问题中没有提到对数字大小的限制。它被标记为

语言不可知

和

算法

。它不是O（k）；k严格小于n，因此您不能忽略n对运行时的贡献。充其量，您可以说它是O（km（n）），其中M（n）是乘法算法的速度。正确，但迂腐。上述函数使O（k）乘法和除法。我忽略了运算本身的位复杂性。这个函数计算

n！/k！

。这不是问题所在about@icepack：不，不是。分子范围从n到n-k+1。分母范围从k到1。因此，选择（9,4）=（9*8*7*6）/（4*3*2*1）=126，这是正确的。相比之下，9！/4！=362880/24=15120。这是递归形式的乘法方法。它确实是O（k），并且是它能得到的最快的方法，除非对k的估计足够好（）。使用斯特林近似法（）有一个分治版本的阶乘可能也有帮助（）找到GCD肯定会减少运算量。不幸的是，GCD本身的发现将是一项更为繁重的任务。是的，我很害怕。但是当乘法有一个大的数时，GCD将以小的数计算。实际上我不确定GCD是否比除法更难。我倾向于怀疑，但事实上确实如此

function choose(n, k)
    if k == 0 return 1
    return (n * choose(n - 1, k - 1)) / k

n! / (k! x (n-k)!) = (product of numbers between (k+1) and n) / (n-k)!