Algorithm 求所有商之和

给定两个数M和N。设qi为i*N/M的整数部分。从0到M-1，qi在i上的和是多少。O（M）是显而易见的方法。这能在更短的时间内完成吗，可能是O（1），如果存在一些更简单的简化表达式？

在我看来，你是在尝试求和0N/M+1N/M+2N/M+3N/M。。。（M-1）N/M。如果是这样，你有（0+1+2+3…+（M-1））N/M。你可以在O（1）中求解，因为（0+1+2+3+…+（M-1））是M*（M-1）/2。M被取消，你得到（M-1）N/2。

有趣的问题。（这篇文章会让我希望我们有数学格式，所以…）

我的方法是将问题写为

∑i floor(i*N/M) = ∑i i*N/M - ∑i [i*N/M]

其中，

[]

是运算符的“小数部分”（即[1.3]=0.3，[6]=0等）

然后，前半部分很简单：它是一个普通的算术序列和乘以

N/M

，因此它和

N*（M-1）/2

。下半场更难对付，但你会明白为什么把它和上半场分开是至关重要的

设

k=gcd（N，M）

。然后，让

n=n/k

和

m=m/k

，那么后半部分是

∑i[i*n/m]

。关键的是，

n

和

m

现在是相对优质的。

i

的总和是从

0

到

M-1=km-1

。我们可以将

i

拆分为

m

的倍数和余数，如

i=qm+r

，因此现在求和

∑q ∑r [r*n/m]

其中，

q

和从

0

到

k-1

和

r

和从

0

到

m-1

。现在是关键步骤：因为

n

和

m

是相对素数，

r=0..m-1的序列
r*n
是
0,1,2,3，…，m-1
mod m的排列。因此，序列
[r*n/m]
是
0/m、1/m、2/m、…（m-1）/m
的排列，因此
∑r[r*n/m]=∑r/m=m*（m-1）/2/m=（m-1）/2
。因此，整个总和崩溃为
k*（m-1）/2=（km-k）/2=（m-k）/2

最后，我们将两半结合起来：
N*（M-1）/2-（M-k）/2=（NM-N-M+k）/2

因此，期望的和是
（NM-N-M+gcd（N，M））/2
。可以使用欧几里德算法计算GCD，因此计算速度相当快。
如果是商或i*N/M的整数部分，你会对这个问题有更好的回答。商可能有误导性。我编辑。