Algorithm 组合优化-创造家具时实现利润最大化

有些公司供应大木板。这些面板被切割成所需的碎片。例如，为了制作书架，他们必须从大的面板上剪下几块。在大多数情况下，清管器面板未100%使用，会有一些损耗，一些剩余件无法使用。因此，为了最大限度地减少损失，他们必须在大面板上找到单独部件的最佳布局。我认为这就是所谓的“二维矩形装箱问题”

现在越来越有趣了

并非所有面板都相同，它们的色调可能略有不同。理想的书架是由一块或多块相同色调的面板切割而成。但书架可以有不同的质量（理想的一个；一个不同色调的书架；两个不同的书架…，使用三种不同颜色的书架等等）。每种质量都有自己的价格。（质量越高，价格越贵）

现在我们有一些木制面板库存，并要求购买一些家具（例如100个书架）。目标是实现利润最大化（例如，创建一些质量理想的产品，一些质量较差的产品，以保持低材料损耗）

如何解决这个问题？如何将其与装箱问题结合起来？和提示，论文/文章将不胜感激。我知道我可以用整数线性规划最小化/最大化一些函数和不等式，但我真的不知道如何解决这个问题

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（请不要考虑真正的风景），例如，最好是只创造理想的。想象一下，剩下的材料的损失是每厘米2的X钱，Y是特定产品质量的价格，X和Y可以是“任意的”。

我可以告诉你如何解决这些问题，以及为什么你的问题特别困难

在一个典型的优化问题中，你想要最大化或最小化一个函数（例如能量）相对于一组变量（例如长度）。例如，为了使储存的能量最小化，弹簧应该有多长。答案只是一个数字，弹簧的平衡长度。另一个例子是“我们应该为产品设定什么样的价格以实现利润最大化？”（太贵了，没有人会买任何东西；太便宜了，你无法支付成本。）同样，答案只是一个数字，即最优价格。像这样的优化是用普通的微积分来处理的

一个更困难的优化问题是，答案不是数字，而是一个函数，比如形状。一个例子是：为了使其重力势能最小化，一条悬挂链将形成什么形状。或者：为了利润最大化，我们应该从这些板上切下什么形状？这类问题是用变分法来解决的，这是非常困难的

在任何情况下，当以数值方式解决优化问题时，有几个基本步骤需要遵循。首先，您必须定义一个函数，例如利润（cuts，params），您希望最大化某些变量“cuts”，而其他参数“params”是固定的params存储的信息包括木材的数量和类型，以及不同类型家具的价值

第二步是猜测出最佳切割集，我们称之为切割猜测。为了做到这一点，你需要想出一个算法，它将建议一套家具，你实际上可以使用你所拥有的用品。例如，如果你能用每块木板至少制作一个书架，那么这可能是你对使用木材的最佳方式的初步猜测

第三阶段是优化。对于初始化，设置cuts\u best=cuts\u guess和profit\u best=profit\u guess=profit（cuts\u guess，参数）。然后你需要（一个算法）对“削减”进行小的伪随机更改，并检查利润是增加还是减少。记录你发现的最佳削减方案，以及相应的利润。通常情况下，最好是有一些随机性，以探索最大数量的可能性，而不是陷入一个糟糕的选择。如果你查阅“蒙特卡罗算法”，你会发现这样的例子

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无论如何，所有这些对你的问题来说都是非常困难的。如何猜测一个变量（例如长度）很容易，然后如何更改该猜测（例如稍微增加或减少长度）。如何“猜测”如何在电路板上放置切口，或如何进行小改动，一点也不明显。

这似乎类似于混合利润最大化问题。如果可能的话，你可能需要一个MIP来彻底解决它；否则，我认为你将需要启发式来获得近似解。该解取决于你可以向消费者收取的每种类型的价格。经济学中涵盖了这类问题，首先是介绍