Algorithm 确定最小割的唯一性

免责声明：这是一个家庭作业问题。截止日期现在已经过去，因此讨论可以继续进行，而无需担心这一点

我正在努力解决的问题是确定图G=（V，E）中的特定最小s-t割是否唯一。根据，使用最大流算法查找一些最小切割非常简单，但如何显示它是最小切割？

概述：

给定一个最小S-T割（U，V）和切边E'，我们做一个简单的观察：如果这个最小割不是唯一的，那么存在另一个具有一组切边E''的最小割，例如E'！=E’

如果是这样，我们可以在E'中迭代每条边，增加其容量，重新计算最大流量，并检查其是否增加

根据上述观察结果，E'中存在一条边，当增加时，如果原始切割不是唯一的，则最大流量不会增加

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我让你填写详细信息，并证明这是一项多时任务。

好的，既然你不想马上得到全部答案，我就给你一些提示。尽可能多地阅读你认为对你来说必要的内容，如果你放弃了，那就继续阅读吧

1:
如果没有其他最小切割，则切割是唯一的

2:
如果成功找到不同的最小切割，则第一个最小切割不是唯一的

3:
你的链接给了我们一个最小切割，这是残差图中s的所有可到达顶点。你能想出一种方法来获得不同的切割，而不一定是相同的吗

4:
为什么我们要特别选择那些从s上可以到达的顶点

5:
也许我们可以从t做一些类似的事情

6:
看看同样的残差图，从t开始。按箭头的相反方向查看可从t到达的顶点组（表示可到达t的所有顶点）

7:
该组也是最小切割（准确地说，实际上是该组）

8（最终答案）：

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如果该切割与原始切割相同，则只有一个。否则，您只找到了2个切割，因此原始切割不可能是唯一的。

鉴于最大流量/最小切割问题实际上是一个线性规划问题（分别为原始/对偶），我认为任何检查LP解唯一性的方法，如果不是唯一的，则可以在这种情况下使用。 我在谷歌上找到了这篇文章：

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编辑1:根据dzhuang的建议，对于那些不知道maxflow-mincut定理是线性规划中强对偶定理的特例的人，下面是解释这种细微差别的链接：

Arg。很简单，真的。。。我确实很想早些时候修改流量，但放弃了这一思路，因为它涉及到在不同的图形上求解最大流量。在这个链接中，他给出了一个多个最小切割的示例？事实上，这在我列举的例子中也是有意义的。。。（我确实读了整本书……但是谢谢你把它分解了！）尽管它看起来比上面简单得多。这对我来说也是有道理的。你对@davin给出的答案有什么看法？@DanielBuckmaster他的答案同样有效，但更复杂的是：在我的情况下，如果我没弄错的话，它是| E*（| V |+| E |）而不仅仅是（| V |+| E |）。假设已经计算了最大流量。我所知道的所有最大流算法都是O（| V | ^3）左右或等效的。如果有一种快速（O（| V |））的方法在增量修改后重新计算最大流量（我怀疑有……需要问我的导师），那么另一种方法将降低到相同的时间复杂性（尽管如果考虑常数，可能会更慢）。“最大流量问题是一个线性问题，但最小切割问题不是。”@Dzhuang在什么意义上你声称最小割不是线性问题？对不起，我的错，我没有注意到你指的是素数/对偶关系。我收回我的批评意见，如果您可以编辑（例如，添加上面的维基百科参考）您的原始答案，那么我可以撤消向下投票，并添加向上投票。您在此处链接的网页不再存在，请尝试链接其他网页。我认为极客换极客是个不错的选择。