Algorithm 这是我能得到的最好的复杂性吗？

问题如下： 您有n个domino片段和每个domino片段上的两个数字（n个片段），还有一组额外的m个domino片段，但您最多只能使用这组片段中的一个片段来帮助您执行以下操作： 计算从给定起点S到终点D可以使用的最小domino块数。 这意味着开始部分应该有编号（S），结束部分应该有编号（D）。 输入： n和多米诺骨牌碎片的编号（n对）。 m和额外的多米诺骨牌碎片的编号（m对）。 起点S和终点D。 输出： domino块的最小数量

我正在考虑使用BFS解决这个问题，从S开始，通过不断地从图中删除节点m（I）并添加节点m（I+1），找到到D的最小路径 但这样做的时间复杂度将是O（n*m）。 但不仅如此，还可能有多个起点，因此复杂性为O（| S |*n*m）。 能否以更好的方式解决这个问题？

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老师说它可以在线性时间内解决，但我只是很困惑。

我最初没有注意到你的问题有多个来源，并写了一个较长的答案解释如何解决这个问题。不管怎样，让我把它贴在这里，因为它可能仍然有用。进一步滚动查看原始问题的解决方案

在线性时间内寻找从单个S到D的最短路径

让我们逐步建立这个想法。首先，让我们尝试解决这个问题的一个更简单的版本，我们只需要找出是否可以通过从额外的M多米诺骨牌集中最多使用一个多米诺骨牌，从一个s到一个D

我建议这样做：对N个多米诺骨牌进行一些预处理，这样，对于M个额外的多米诺骨牌中的每一个，都可以快速（以恒定的时间）回答是否存在从S到D的路径通过该多米诺骨牌。（当然，当我们根本不需要额外的多米诺骨牌时，我们需要记住edge的情况，但它很容易在线性时间内覆盖。）

什么样的信息可以让你回答这个问题？假设您看到的是一个两端有数字a和B的多米诺骨牌。如果你知道你可以从S到A，从B到D，你可以用这个多米诺骨牌从S到D，对吗？或者，如果有一条从S到B和从a到D的路径，它也会工作。如果两者都不是真的，那么这个多米诺骨牌就无法帮助您从S到D

这很好，但是如果我们从每一个可能的B运行BFS，我们将无法实现线性时间复杂度。但是，请注意，您可以反转第二个问题（检测从B到D的路径是否存在），并将其设置为“我可以从D到每个可能的B吗”？这是很容易回答一个单一的BFS

您能看到这种方法是如何适应于通过每个domino查找最短路径的长度的，而不仅仅是检测路径是否存在吗

在线性时间内寻找从多个S到D的最短路径

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让我们把问题反过来，假设我们想找到从D到多个s的最短路径。你可以创建一个有向图，其中的节点数是多米诺骨牌上唯一数字的两倍。也就是说，对于每个数字，都有节点V和V'，如果您在V中，这意味着您还没有使用额外的domino，但是如果您在V'，则意味着您已经使用了一个。多米诺骨牌（A，B）的每个核心（即原始N个核心之一）对应于图中的4条边：（A->B）、（B->A）、（A'->B'）、（B'->A'）。每个额外的domino对应于两条边：（A->B'），（B->A'）。请注意，一旦我们进入一个带有“”的节点，我们就永远无法离开它，因此我们最多只会以这种方式使用一个额外的domino。图中D中的一个BFS将回答这个问题。

语言不可知的算法问题和尝试的解决方案都在主题中，但我对问题陈述缺乏清晰性。你能提供一些具体输入和输出的例子并加以解释吗？参见：