Algorithm 使用线段树的矩形并集面积

我试图理解可以用来计算一组轴对齐矩形的并集面积的算法

我下面介绍的解决方案如下：

我不明白的是：

段树是此数据结构的正确选择。它具有复杂性O（logn） 对于更新操作和O（1） 用于查询。我们需要使用每个节点的分数来扩充段树，并具有以下属性

• 每个节点对应于一个y-区间，该y-区间是节点范围内所有索引上的基本y-区间的并集
• 如果节点值为零，则分数为子代分数之和（如果节点为叶，则为0）
• 如果节点值为正值，则分数为对应于该节点的y间隔的长度

我们如何在O（n log n）中实现这一点

我的想法是创建一个段树，当我们在扫线时遇到范围（y范围作为矩形的高度）时，更新每个范围的值。然后针对每个间隔（排序x数组中的两个连续元素，通过查看段树中所有元素的总和，将Δx乘以该间隔中活动y范围的总长度）

这仍然会导致在段树的基础中有max（y）-min（y）元素

因此，我不确定这是O（n logn）-其中n是矩形的数量

非常感谢您的帮助

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谢谢 根据您的理解，您将创建底部有11-1=10个节点的段树，如下所示：

请注意，我们在base中只有9个节点，因为第一个节点用于interval[1,2]，下一个节点用于interval[2,3]，依此类推

当您输入某个矩形时，您将根据其y坐标更新其范围，因此在x=0上遇到第一个矩形后，您的线段树将如下所示：

我们还需要使用一种称为延迟传播的方法来更新树上的活动间隔，因此所有活动间隔的总和都是1

所以，当前方法的复杂性类似于O（K logk），其中K=max（y）-min（y）

我们可以很容易地把它简化为O（n logn），其中n是矩形的数目

请注意，唯一重要的y坐标是存在的y坐标，因此在本例中为1,3,6,11

还要注意，这样的坐标最多有2*n

所以我们可以将所有坐标映射到一些整数，这样它们就更适合分段树了

这被称为坐标压缩，可以通过以下方式完成：

在数组中存储所有y坐标

对数组排序并删除重复项

使用map或hashMap将原始坐标映射到其在排序数组中的位置

因此，在我们的示例中，它将是：

[1,3,6,11]

没有要删除的重复项，因此阵列仍然

[1,3,6,11]

mp[1]=1，mp[3]=2，mp[6]=3，mp[11]=4

所以现在算法保持不变，但我们可以使用段树，它的基中最多只有2*n个节点

此外，我们还需要稍微修改片段树， 现在，我们不再保持y坐标的开或关，而是保持y坐标的开/关间隔

所以我们将有区间[y0，y1]，[y1，y2]的节点。。。对于y的所有唯一排序值

此外，所有节点将向总和贡献y[i]-y[i-1]（如果它们在范围内且处于活动状态），而不是一个

因此，我们的新段树如下所示：

我们如何在O（n log n）中实现这一点

考虑每个矩形，您将更新二叉段树中的范围[x，y]。本质上，发生的是，你是

• 在树中搜索x作为左边界（对数（N）次）
• 在树中搜索y作为右边界（对数（N）次）

假设为x找到的节点是[x，a]，它有一个父节点[z，a]，该父节点有一个兄弟节点[a，b]。显然，如果y不在[a，b]下，则[a，b]的整个跨度都被覆盖，因此您可以增加此节点，而不是[a，b]子树下的所有单独段节点

因此，搜索/更新过程如下所示

• 如果父节点[a，c]有两个子节点[a，b]，[b，c]，且左边界x在[a，b]中，则决定是否增加节点[b，c]中的值（取决于y是否大于c）
• 如果父节点[a，c]有两个子节点[a，b]，[b，c]，且右边界y在[b，c]中，则决定是否增加节点[a，b]中的值（取决于x是否小于a）

本质上，在深入到一个节点之前，决定是否更新其同级节点

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您决定是否更新的节点数为log（N）（对于x）+log（N）（对于y）。

我们可以使用坐标压缩仅保留必要的坐标，以便在段树中只有O（N）个元素base@Photon你能再解释一下吗？或者任何我可以阅读的推荐链接？文本说“更新操作的复杂度为O（logn），查询的复杂度为O（1）”。由于树最多包含n个节点，最多更新n次，因此最坏情况为O（n logn）。实际上，O（n logm），其中m是树中的一些平均节点数，可以是√n（因此差异没有log那么显著√n=1/2 log n）。这可能是一个幼稚的问题-但在您的第一个图表中，每个节点上的值是否是其子节点的最大值？谢谢，我不确定我是否理解在遇到第一个矩形后，如何从第一个图形中得到第二个图形。正在更新的y范围应该是[3,6]，不是吗？为了澄清，您能否指定每个节点内的值的含义？我想这会帮助我理解如何从f得到图2