Algorithm 给定n个整数a1，a2，…，an和k。这些元素可以构成一个三角形的子数组长度k是多少？

给定一组不同的正整数，假设它可以“构造一个三角形”，如果它可以划分为三个子集，其和可以是三角形三条边的长度（即：三个子集，其和满足条件）。例如，{1,2,3,4}可以通过将其划分为{1,2}，3,4}来“构造三角形”，因为三角形的边长可以是1+2,3和4（因为1+2+3>4，1+2+4>3，3+4>1+2）

我得到了一个数组A，其中最多有105个在[0109]范围内的不同非负整数和一个整数k，我需要找出有多少个长度为k的连续子数组可以构造三角形。例如，如果A=[1,3,4,2,5,9]和k=3，则有两个这样的子阵列：[3,4,2]和[4,2,5]

我尝试了以下方法：

• 迭代A，检查长度为k的每个连续子数组。
  • 对于每个这样的子阵列，将其每个分区分为三个子集。
    • 对于每个这样的划分，计算三个子集的和，并检查它们是否满足三角形不等式
• 返回至少一个分区通过检查的子阵列数

这给出了正确的答案，但需要O（3kn）的时间，其中n是A的长度

我读过关于这个问题的O（n）算法，但我不明白它为什么会起作用：

• 迭代A，检查长度为k的每个连续子数组。
  • 对于每个这样的子阵列，确定其总和S和最大元素aG，然后检查S是否>2aG。
    • 注#1：当且仅当情况如此时，子阵列可以构造三角形
    • 注#2：通过使用前缀和，可以在O（n）时间内确定所有子阵列的和
    • 注#3：所有子阵列的最大元素可通过使用deque在O（n）时间内确定
• 返回至少一个分区通过检查的子阵列数

我在注释1中得到了这样的解释：

• 设i为子阵列的第一个索引，j为其最后一个索引（即j=i+k）−1）
• 假设我们已经对子阵列的元素进行了排序，因此Ai z，这相当于检查x+y+z>2z
• 但我们可以在不进行实际排序的情况下进行检查：x+y+z是整个子阵列的总和，z是其最大的元素

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我不明白的是-这个解释表明，如果我们以一种特定的方式划分子阵列，那么这个划分满足三角形等式当且仅当x+y+z>2z。但是如果我们用不同的方式划分子阵列呢？即使这个划分不满足三角形不等式，难道不能有一个不同的划分满足吗？

三角形不等式可以重述为（参见）

对于

x

、

y

和

z

的任何分区选择，我们有

max（x，y，z）>=A_j

。因此，如果您已经描述了分区

x=Ai+Ai+2+…+Aj−二,

y=Ai+1+Ai+3+…+Aj−一,

z=Aj

如果不满足不等式（即

x+y+z>2A_j

不成立），则任何其他分区也不会满足不等式

x+y+z > 2 max(x,y,z)