Algorithm 计算形式为1/r的k个分数加总为1的算法

给定

k

，我们需要将

1

写成

k

形式

1/r

分数的总和

比如说,

对于

k=2

，

1

可以唯一地写为

1/2+1/2

对于

k=3

，

1

可以写成

1/3+1/3

或

1/2+1/4+1/4

或

1/6+1/3+1/2

现在，我们需要考虑所有的<代码> k＜代码>分数，这些分数与<代码> 1 < /代码>相加，并在所有这些集合中返回最高分母；例如，在示例案例2中，我们的算法应该返回

6

---

我在一次编码竞赛中遇到了这个问题，但我无法想出同样的算法。后来谷歌搜索发现，这些分数被称为埃及分数，但它们可能是一组不同的分数，加起来就是一个特定的值（不像

1/2+1/2

）。此外，当埃及分数的数量受到

k

的限制时，我找不到计算埃及分数的算法（如果它们对这个问题有帮助的话）。我以前从未听说过埃及分数，但这里有一些想法：

创意

你可以从几何角度来考虑它们：

• 从单位正方形（1x1）开始
• 画垂直线或水平线，将正方形分成相等的部分
• （可选）在任意子框内均匀重复绘制线
• 你想什么时候停就什么时候停

出现的矩形将形成一组1/n形式的分数，加上1

你可以数一数，它们可能等于你的“k”

根据你把一个矩形分成多少等分，它会告诉你是有1/2还是1/3或者其他什么。1/6是1/3的1/2或1/2的1/3。（也就是说，你将其中一个子框除以2，然后再除以3，或者反过来。）

创意2

你从一个盒子开始。这是k=1的分数1/1

当你除以n时，你把n加到盒子的计数上（k或求和的分数），然后减去1

当您细分这些框时，再次减去1，再加上n，即分割数。请注意，n-1是您为分割它们而绘制的线数

更多

您将开始用k搜索答案。显然，k*1/k=1，所以这里有一个解

k-1怎么样

这里有一个解：（k-2）*1/（k-1）+2*（1/（（k-1）*2））

我怎么知道的？我把k-1等分（有k-2条垂直线），然后水平地把最后一个一分为二

每个解决方案将包括：

• 采取事先解决办法
• 使用无j线和一些阶段，并将其中一个方框或子方框划分为j+1等分

我不知道从k*1/k开始重复这个规则是否可以形成所有的解决方案

我知道你可以通过这种方式得到有效的副本。例如：k*1/k和j=1=>（k-2）*1/（k-1）+2*（1/（（k-1）*2））[从上面]但是k*1/k和j=（k-2）=>2*（1/（（k-1）*2））+（k-2）*1/（k-1）[这只是颠倒了零件的顺序]

有趣

k=7可以用1/2+1/4+1/8+…+表示1/（2^6）+1/（2^6），一般情况为1/2+…+1/（2^（k-1））+1/（2^（k-1））

类似地，对于任何奇数k，它可以用1/3+…+表示3*[1/（3^（（k-1）/2）]

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我怀疑在k之前的所有整数都有类似的模式。

如果你只想找到最大的分母，没有理由找到所有的可能性。你可以非常简单地做到这一点：

public long largestDenominator(int k){
    long denominator = 1;
    for(int i=1;i<k;i++){
        denominator *= denominator + 1;
    } 
    return denominator;
}

---

为什么这么简单？ 要创建集合，您需要在每个步骤（最后一步除外）插入将其保持在

1

下的最大分数。所谓“最大分数”，我指的是值，即最小分母

对于一个简单的例子，

k=3

，这意味着你从

1/2

开始。你不能适应另一半，所以你选择

1/3

。然后

1/6

剩下，给你三个术语

在下一个例子中，你把

k=4

，从末尾去掉

1/6

，因为它不适合一个词，我们需要另一个词的空间。替换为

1/7

，因为这是适合的最大值。剩下的是

1/42

根据需要重复

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例如：

• 2:[2,2]
• 3:[2,3,6]
• 4:[2,3,7,42]
• 5:[2,3,7,431806]
• 6:[2,3,7,4318073263442]

如您所见，它迅速变得非常大。如果

k>7

，它将溢出

long

。如果您需要这样做，您需要找到一个合适的容器（即Java/C中的BigInteger）

它完美地映射到：

a（n）=a（n-1）^2+a（n-1），a（0）=1

您还可以查看与以下各项的关系：

a（n+1）=a（n）^2-a（n）+1，a（0）=2

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有一篇很好的文章解释了两者之间的关系，正如Peter在评论中指出的。

@JimMischel这篇文章很好，但似乎没有回答这个问题。@JimMischel我确实遇到过这种方法，但正如我在问题中提到的，埃及分数是不同的分数。另外，贪婪算法proPosite没有考虑到我想要的正是

k

这样的分数。这里有一篇非常好的文章。+1：证明了这个答案一定是最优的（否则你会发现更接近于1）@Peterderivez，它在维基百科上！我下次应该做一些研究，而不是在纸/笔上给自己证明。感谢这么简单的解决方案。我还在诅咒问题定居者在1小时的比赛中加入了一个显然很难的问题。我还有很长的路要走。无论如何，再次感谢：）

public long largestDenominator(int k){
    if(k == 1)
        return 1;
    long last = largestDenominator(k-1);
    return last * (last + 1); // or (last * last) + last)
}