Algorithm 查找具有最大公共集位数的一对位字符串

我想找到一种算法来查找数组中公共集位数最大的一对位字符串（在数组中的所有对中）。我知道通过比较数组中的所有比特串对可以做到这一点，但这是O（n2）。有没有更有效的算法？理想情况下，我希望算法通过在每次迭代中处理一个传入的位字符串来递增工作

例如，假设我们有一个位字符串数组（长度为8）：

这里最好的一对是

B2

和

B3

，它们有四个公共设置位

我发现一篇论文似乎描述了这样一种算法（S.Taylor&T.Drummond（2011）；“；Int.J.Compute.Vis.94:241–265），但我不理解第252页的描述：

这可以在每次迭代中进行增量更新，因为需要重新计算的唯一[bitstring]重叠是新父特征的重叠以及根目录中的任何其他[bitstring]，其“最重叠特征”是选择用于组合的两个特征之一。这避免了在每次迭代中进行O（N2）重叠比较的需要，并允许在一秒钟内为700个特征的典型大小的数据库构建一个林

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据我所知，Taylor&Drummond（2011）并不打算给出一种O（n）算法，用于在具有最大公共集位数的数组中查找位串对。他们提出了一个论点，即在向数组中添加一个新的位字符串（并删除两个旧的位字符串）后，可以在O（n）中更新最好的这类对的记录

当然，第252页对算法的解释不是很清楚，我认为他们关于记录可以在O（n）中更新的粗略论点充其量是不完整的，所以我可以理解为什么你会感到困惑

无论如何，这是我从论文中解释算法1的最佳尝试

算法 该算法采用一个位字符串数组并构造一个查找树。查找树是一个二叉林（二叉树集），其叶子是数组中的原始位字符串，其内部节点是新位字符串，如果节点A是节点B的父节点，则A&B=A（即，A中的所有集合位也在B中设置）

例如，如果输入是此位字符串数组：

然后输出为查找树：

本文描述的算法如下所述：

设R为位字符串的初始集（根集）

对于R中没有伙伴的每个位字符串f1，查找并记录其伙伴（R中的位字符串f2）−{f1}具有与f1相同的最大设置位数），并记录它们具有相同的位数

如果R中没有一对具有任何公共设置位的位字符串，请停止

设f1和f2是R中公共集位数最大的一对位字符串

设p=f1&f2为f1和f2的父项

从R上移除f1和f2；把p加到R

转至步骤2

分析 假设数组包含n个固定长度的位字符串。然后，所描述的算法是O（n3），因为步骤2是O（n2），并且有O（n）次迭代，因为在每次迭代中，我们从R中删除两个比特串，然后添加一个

论文中包含一个论点，即步骤2仅在循环的第一次是Ω（n2），而在其他迭代中是O（n），因为我们只需要找到p“和R中的任何其他位字符串的伙伴，其伙伴是选择组合的两个位字符串之一。”然而，这个论点不能让我信服：不清楚是否只有O（1）个其他这样的位字符串。（也许有更好的理由？）

通过存储每对位字符串之间的公共集位数，我们可以将算法降到O（n2）。这需要O（n2）额外的空间

参考文献

• S.Taylor&T.Drummond（2011）。“用于高效和稳健匹配的二进制直方图强度块”。国际计算机杂志。维斯。94:241–265

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据我所知，Taylor&Drummond（2011）并未提出一种O（n）算法，用于在具有最大公共集位的数组中查找一对位字符串。他们提出了一个论点，即在向数组中添加一个新的位字符串（并删除两个旧的位字符串）后，可以在O（n）中更新最好的这类对的记录

当然，第252页对算法的解释不是很清楚，我认为他们关于记录可以在O（n）中更新的粗略论点充其量是不完整的，所以我可以理解为什么你会感到困惑

无论如何，这是我从论文中解释算法1的最佳尝试

算法 该算法采用一个位字符串数组并构造一个查找树。查找树是一个二叉林（二叉树集），其叶子是数组中的原始位字符串，其内部节点是新位字符串，如果节点A是节点B的父节点，则A&B=A（即，A中的所有集合位也在B中设置）

例如，如果输入是此位字符串数组：

然后输出为查找树：

本文描述的算法如下所述：

设R为位字符串的初始集（根集）

对于R中没有伙伴的每个位字符串f1，查找并记录其伙伴（R中的位字符串f2）−{f1}具有与f1相同的最大设置位数），并记录它们具有相同的位数

如果R中没有一对具有任何公共设置位的位字符串，请停止

设f1和f2是R中公共集位数最大的一对位字符串

设p=f1&f2为f1和f2的父项

从R上移除f1和f2；把p加到R

转至步骤2

分析 假设数组

B1:01010001 
B2:01101010
B3:01101010
B4:11001010
B5:00110001