Algorithm 最大最小距离意义下的最佳子样本

在D维度量空间中有一组N个点。我想用这样一种方式来选择K个点，即子集中任意两点之间的最小距离是最大的

例如，在三维欧几里德空间中，当N=4和K=3时，解是具有最长短边的四面体的面

有没有一个经典的方法来实现这一点？它能在多项式时间内精确求解吗

我已经尽可能多地在谷歌上搜索，但我还没有弄清楚如何称呼这个问题

在我的例子中，N=50，K=10，D=300

澄清：

蛮力方法是尝试N个点中K个点的每个组合，并确定每个子集中最近的一对。解由产生最长对的子集给出

以平凡的方式完成，一个O（K^2）过程，重复N！/K（N-K）！时代

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哼，10^250！/10! 40! = 1027227817000

我想你可能会发现单位圆盘图上的文章信息丰富，但令人沮丧。例如，指出单位圆图上的最大独立集问题是NP完全的，即使已知圆的表示形式。单位圆盘图是通过在平面中放置点并在每对点之间形成链接（最多相距单位距离）而获得的图形

所以我认为如果你能在多项式时间内解决你的问题，你可以在单位圆盘图上运行它，计算不同的K值，直到你找到一个值，在这个值上，两个选择点之间的最小距离刚好超过1，我认为这是单位圆盘图上的最大独立集，这将在多项式时间内解决一个NP完全问题

（正准备跳上自行车，所以这有点匆忙，但在单位磁盘图上搜索论文可能至少会找到一些有用的搜索词）

下面是一个逐条解释的尝试：

下面是将这两个问题联系起来的另一个尝试

有关最大独立集，请参见。这个问题的一个决策问题版本是“这个图中有K个顶点，没有两个被一条边连接吗？”如果你能解决这个问题，你当然可以找到一个最大的独立集，通过对不同的K问这个问题来找到最大的K，然后通过对删除了一个或多个节点的图的版本问这个问题来找到K个节点

在没有证据的情况下，我声明在单位圆图中寻找最大独立集是NP完全的。这方面的另一个参考是

你的问题的一个决策版本是“任意两点之间是否存在距离至少为D的K点？”同样，你可以在多项式时间内解决这个问题，如果你可以在多项式时间内解决你的原始问题-反复玩，直到找到答案为“是”的最大D，然后删除点，看看会发生什么

当两点之间的距离等于或小于1时，单位圆盘图正好有一条边。因此，如果您可以解决原始问题的决策版本，您可以通过设置D=1并解决您的问题来解决单位磁盘图问题的决策版本

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所以我想我已经建立了一系列的链接，表明如果你能解决你的问题，你可以通过把它转化为你的问题来解决NP完全问题，这让我觉得你的问题很难解决。

听起来你可以用点之间的距离构建一个图，然后运行Kruskal算法的修改版本来构建最大生成树。最大生成树可以是V形的，节点之间有很长的链接，但两个节点之间没有非常紧密的链接。我可以想到一些明显的爬山和贪婪算法（扫描数据，反复查看是否将新点与目前为止保留的一个点交换会改善情况），但它们不会给出某些优化结果。我已经在N个点上建立了最大生成树。如何修剪树以获得我的K子样本？生成树以什么方式让我更接近解决方案？这是一个非常有趣的方法，确实有点令人沮丧。如果你发现在精神上很难检查你的论点是否正确，那么：（我已经试着添加了一个章节，一步一步地回顾我的论点