Algorithm 该算法的时间复杂度为两个for循环

你能给我解释一下如何找到这个的时间复杂度吗

sum1=0;
for(k=1;k<=n;k*=2)
  for(j=1;j<n;j++)
     sum++

但我不能把它概括起来。 请有人给我解释清楚。 我甚至检查了其他类似类型的查询，如： 接着说

1,2,4,8...n so it will be
2^n
nlogn

但我不明白。 我不知道他们怎么说。 请适当解释如何一步一步地计算

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谢谢：）

为了获得两个循环的全部复杂性，需要将外部循环的复杂性乘以内部循环的复杂性。这是通过思考当n变得非常大时（从技术上讲，当n趋于无穷大时）会发生什么来实现的。您总共需要对sum或循环变量执行多少操作

在这种情况下，随着k的指数增长，外部循环执行

log（n）

次。因为k在外循环的每次迭代中都是双倍的，所以这意味着它以2^k的形式增长，直到2^k变成n。关于像这样乘以循环变量的注释。根据您在评论中提出的问题，如果将k乘以3，您仍然会得到

log（n）

，但它将使用base-3记录，而不是使用base-2记录。渐近地，日志的基数是不相关的，所以您可以简单地说它是log（n），忽略基数。因此，第一个循环具有

O（log（n））

复杂性。内部循环仍然是线性的（运行n次），因此如果将它们相乘，则会得到

O（n*log（n））

复杂度

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总之：O（nlogn）为了获得两个循环的全部复杂性，需要将外循环的复杂性乘以内循环的复杂性。这是通过思考当n变得非常大时（从技术上讲，当n趋于无穷大时）会发生什么来实现的。您总共需要对sum或循环变量执行多少操作

在这种情况下，随着k的指数增长，外部循环执行

log（n）

次。因为k在外循环的每次迭代中都是双倍的，所以这意味着它以2^k的形式增长，直到2^k变成n。关于像这样乘以循环变量的注释。根据您在评论中提出的问题，如果将k乘以3，您仍然会得到

log（n）

，但它将使用base-3记录，而不是使用base-2记录。渐近地，日志的基数是不相关的，所以您可以简单地说它是log（n），忽略基数。因此，第一个循环具有

O（log（n））

复杂性。内部循环仍然是线性的（运行n次），因此如果将它们相乘，则会得到

O（n*log（n））

复杂度

---

总之：O（nlogn）

k

呈指数增长，因此需要

O（logn）

时间才能达到

n

。检查的定义。那是你的外环

---

内部循环是一个简单的

O（n）

k

指数增长，因此需要

O（logn）

时间才能达到

n

。检查的定义。那是你的外环

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内环是一个简单的

O（n）

，因为内环是

for(j=1;j<n;j++)

for(j=1;j<k;j++)

请注意，这是一个系列，而不是一个序列。事实上，这是众所周知的。该系列的总和由下式给出：

a(1 - r^(i + 1))/(1 - r) 

其中a=1，r=2，如果用log（n）代替i（前面分析的log（n），则得到

那是

2*n - 1

---

因为内环是

for(j=1;j<n;j++)

for(j=1;j<k;j++)

请注意，这是一个系列，而不是一个序列。事实上，这是众所周知的。该系列的总和由下式给出：

a(1 - r^(i + 1))/(1 - r) 

其中a=1，r=2，如果用log（n）代替i（前面分析的log（n），则得到

那是

2*n - 1

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考虑到您的问题结构：

sum1=0;
for(k=1;k<=n;k*=2)  // <-- Takes 1+1/2+1/2^2+1/2^3...+1/2^n = O(log(n)) time
   for(j=1;j<n;j++)  // <-- Takes 1+2+3+...+n = O(n) time
      sum++

换句话说，每次都要丢弃一半的元素。话虽如此，您实际上是在中搜索大小为n的数组

1+(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n) time = log(n) time

日志（n）是怎么来的？

以二叉树为例，在每个节点上，我们都会分支为两个节点，这两个节点可以表示为递归关系：

T(n) = 2T(n/2)

当搜索空间减少2时，当搜索空间等于

1

时，当我们从根开始走得更远时，我们必须达到边界条件。深度为k的搜索空间大小为

n/2^k

（类似于我们上面看到的）

对搜索空间进行等值后，我们的方程变为：

n/2^k = 1
=> n = 2^k

Taking log on both sides:
=> log n = k log 2
=> log n/ log 2 = k

Rearranging:
k = log n base 2.

所以在叶节点，我们将遍历的二叉树的高度是log（n）base 2。在我们的例子中，我们将搜索空间分为两个部分，并以二的幂遍历搜索空间，到达

log（n）

time中的结束元素

---

鉴于您的问题结构，两个循环的总体时间复杂度顺序为n*logn=

O（nlog（n））

sum1=0;
for(k=1;k<=n;k*=2)  // <-- Takes 1+1/2+1/2^2+1/2^3...+1/2^n = O(log(n)) time
   for(j=1;j<n;j++)  // <-- Takes 1+2+3+...+n = O(n) time
      sum++

换句话说，每次都要丢弃一半的元素。话虽如此，您实际上是在中搜索大小为n的数组

1+(1/2)+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n) time = log(n) time

日志（n）是怎么来的？

以二叉树为例，在每个节点上，我们都会分支为两个节点，这两个节点可以表示为递归关系：

T(n) = 2T(n/2)

当搜索空间减少2时，当搜索空间等于

1

时，当我们从根开始走得更远时，我们必须达到边界条件。深度为k的搜索空间大小为

n/2^k

（类似于我们上面看到的）

对搜索空间进行等值后，我们的方程变为：

n/2^k = 1
=> n = 2^k

Taking log on both sides:
=> log n = k log 2
=> log n/ log 2 = k

Rearranging:
k = log n base 2.

所以在叶节点，我们将遍历的二叉树的高度是log（n）base 2。在我们的例子中，我们将搜索空间分为两个部分，并以二的幂遍历搜索空间，到达

log（n）

time中的结束元素

---

这两个循环的总体时间复杂度的顺序是n*logn=

O（nlog（n））

，但我的文章说：时间复杂度是nLogn。这就是为什么confused@JerryCoffin：文本显示：#ru