Algorithm 简单压缩方案的最佳运行时间

这是一个简单的谜题，在生物信息学中有一些应用。这是一个朋友工作中出现的东西的抽象版本

考虑一个非常简单的压缩方案，其输出由两个操作流组成：

• put（a）

  ：输出字符

  a

• dup（）

  ：复制到目前为止写入的所有输出

为便于注释，请为

put（'x'）

编写字符

x

本身，为

dup（）

编写字符

*

例如，

“a**b*c”

扩展为

“aaaaaabc”

要压缩给定字符串

s

，请找到这两个操作中最短的列表以生成它

例如，对于

“aaaaaaaa b”

缩短为

a**a*b

。（

a***aab

也可以，但长一个字符。）

我的问题是：实现最佳压缩的最佳运行时是什么？（实现该运行时的算法是什么。）

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我相信线性运行时是可能的，但我还没有发现比二次运行时更好的方法。（不要太担心使用额外的空间。）

是的，此压缩方案可以使用线性运行时间

创建一个列表

dp

。此列表的第i个元素将是字符串的第一个

i

元素的最佳压缩

dp[1] = 1
dp[i] = dp[i-1] + 1
if i is even and first i/2 elements of string are equal to second i/2 elements:
    dp[i] = min(dp[i], dp[i/2] + 1)

要检查第一个

i/2

元素是否等于第二个

i/2

元素，可以在字符串和从索引

i/2

开始的后缀之间找到最长的公共前缀。如果此前缀的长度大于或等于

i/2

，则第一个

i/2

元素实际上等于第二个

i/2

元素

使用改进的LCP阵列可以加速此操作

首先，为

O（n）

中的字符串构建一个

然后，为

O（n）

中的后缀数组构建一个

现在，在后缀数组中找到完整字符串的索引。假设它是

i

。现在，从

i

迭代到LCP数组的末尾，用迄今为止看到的最小值替换每个值。类似地，在LCP数组中从

i-1

向下迭代到

0

，用迄今为止看到的最小值替换每个值

完成此操作后，LCP数组中的每个值表示该后缀的最长公共前缀和完整字符串，这是算法所需的。

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请注意，这些值是根据已排序的后缀排序的，而不是根据后缀在字符串中的位置排序的。不过，使用后缀数组映射它相当简单。

如何？如果您有想法，请添加答案。谢谢。明天我会详细讨论这个问题。根据我的文献研究，我已经期望LCP和后缀数组可能有用。我还为一个简单的算法绘制了一个草图，其中包含两个滚动哈希：基本上，从[0:I]滚动一个，从[I:2*I]滚动另一个。拉宾指纹可能有用。@Matthias是的，指纹识别听起来像是一个简单得多的想法，在实际场景中可能已经足够好了。哦，我认为在实践中，大多数情况下，天真的方法会工作得很快（比最坏情况下的二次行为快得多）。顺便说一句，我认为你可以在你的解决方案中放弃动态规划，使用贪婪，如果你在你的字符串中向后走的话。为了让指纹识别在理论上起作用，我必须很好地处理错误概率。（到目前为止，我只通过指纹识别实现了O（n log n）运行时。）PS请也看看。顺便说一句，开始时的动态编程位是多余的。后面的贪婪很好用。我也发现了一个新的更简单的线性方案。我很快就要发帖了。