Algorithm 将字符串分解为有效单词的时间复杂度是多少？

问题是这样的：

给定一个英语词典（作为hashmap（word->means）实现）和一个不带空格的字符串，输出所有可能的有效英语单词组合，组合后会重现输入字符串

这个问题可以通过递归/动态规划来解决，但在分析时间复杂性时，我感到困惑：

假设字典包含每个可能的字符排列（每个字符序列都是有效的单词），然后给定字符串，对于2个字符之间的每个位置，您可以选择是否插入空格，有n-1个这样的位置，因此有2^（n-1）个可能的结果。生成这些结果的任何算法的复杂度必须至少为O（2^n）

我可以使用动态规划算法来实现这一点。假设结果[i]是子串i..N的可能拆分，以计算结果[j]：

j+1到N范围内的k的

：
如果s[j:k]是有效词：
将结果中的单词合并[k]

由于我们将结果[N]计算回结果[0]，并且这些计算中的每一个都取O（N）（因为我们所依赖的子问题已经计算过），所以时间复杂度应该是O（N^2）

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为什么我可以从这两种推理中得出不同的结论，哪一种是正确的？

除了输入字符串的大小

n

，还应该引入一个表示结果大小的额外参数

r

，并在分析中使用它。在本例中，“结果大小”类似于每个有效组合中的字数总和

在对算法的描述中，您忽略了如何将中间结果合并到循环体中。您隐含地假设这可以在恒定的时间内完成。然而，正如您所注意到的，这导致了一个矛盾的结果

如果将算法分为两个阶段，则分析更简单：

• 在第一阶段中，您将构建一个数据结构，指示可以在字符串中嵌入单词的位置。这可以在

  Θ（n^2）

  时间内完成，假设您可以检查每个子字符串是否是摊销固定时间内的一个字

• 在第二阶段，您将遍历此数据结构以输出单词组合列表。这可以在线性时间内以输出的大小进行，

  Θ（r）

因此，总的来说，该算法的时间复杂度为

Θ（n^2+r）

注意：在形式上要正确，你也应该考虑阅读英语单词表所需的时间。如果您想说明这一点，可以引入一个附加变量

d

，并在时间复杂度中添加一个

+d

项

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另外：这个界限的

n^2

部分可以通过使用查找所有匹配的子字符串来改进，而不是在哈希表中查找每个子字符串。

我猜字典的大小必须以某种方式包含在时间复杂度中，因为它是输入的一部分。复杂度取决于字典的内容；例如，假设字典只包含5个字母的单词，那么最多只有一种方法可以拆分字符串。这是很容易找到的分裂。最坏的情况由你的推理1给出。你对（1）的分析是正确的；这是错误的。后一种情况下的问题是，可能有很多（不仅仅是1）方法将剩余的

s[k+1:N]

拆分为单词，因此

将单词合并为结果[k]

需要（至少）与拆分方法数量成比例的时间。（OTOH，如果您想找到将字符串拆分为单词的特定方法（可选地，使一些分数最大化），那么您（2）中的DP可以在O（n^2）时间内完成这项工作，假设您使用的数据结构允许O（1）中的操作“添加给定字符开始”和“测试当前字符串是否在字典中”。）如果我只想要由最少的单词组成的解，我该怎么办？我必须计算所有的解并选择最小的一个吗？还是另一种方法？你能详细说明如何使用Aho_Corasik算法来查找子字符串吗？我认为该算法是为不同的问题设计的，比如查找单词

abc

和

bcd

来自

abcd

。但是这个分词问题不允许单词重叠。我遗漏了什么吗？@NeoWang:Aho-Corasick算法的输出会告诉你在什么位置找到了哪些单词。你可以按位置排序该列表。然后，抓取一个从位置0开始的单词。说它是“foo”现在，看看列表中是否包含从位置3开始的单词（即开始位置加单词长度），依此类推。顺便说一下，Aho-Corasick算法比“在‘abcd’中查找‘abc’和‘bcd’。它可以在文档的一次传递中找到许多单词或短语。病毒扫描程序使用非常类似的方法快速检查可执行文件。”。