Algorithm 当输入大小改变时，为什么算法的优先级会改变

我正在研究算法的时间复杂性。这本书解释说

插入排序的运行时间为O（n^2）

合并排序的运行时间为O（n logn）

当n较小时，插入排序更好，而当n较大时，合并排序更好

我不理解这个概念，为什么会这样？当输入大小不同时，为什么算法的优先级会不同

隐藏常数

给定一个大小为n的输入，假设您得到两个执行以下数量比较的插入和合并排序实现*：
-插入排序：

8n^2

属于

O（n^2）

-合并排序：

64nlogn

属于

O（nlogn）

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然而，如果你

8n^2复杂度的研究是用来观察随着问题规模的增长，程序的效率是如何变化的。如果您的输入大小没有定义的边界，这将非常有用

但是，如果您的问题大小有一个定义的界限，例如
n
小于60，那么求解算法的复杂度对您将没有用处：具有O（1）复杂度的算法可能比具有O（n2）复杂度的算法慢

当算法A比B具有更低的大O（最坏情况）时间复杂度时，通常您可以认为这意味着存在
N
，因此A将更快地解决所有大于
N
的问题

更准确地说，这意味着对于大于
n
的任何
n
，算法A的大小
n
的最坏情况问题总是比算法B的大小
n
的最坏情况问题更快（步骤更少）（通常，这些将是完全不同的问题！）

在编程中，big-O复杂性理论很有用，但仅在它如何帮助我们理解平均案例复杂性（更难分析）方面。在您的示例中，对于较大的问题大小，使用合并排序而不是插入排序，这不是因为big-O复杂性，而是因为平均案例复杂性（在本例中，这与Big-O复杂性相同）

例如，在实践中，大O复杂性并不重要（即使我们关心任意大的问题规模）：


快速排序，O（n2），平均值（n对数（n））
合并排序，O（n个日志（n）），平均值（n个日志（n））

因为平均复杂度是相同的，我们无法在没有更多分析的情况下判断谁更快。这有点像打破平局。这项分析的结果是著名的（我从来没有看过）：快速排序速度明显更快（与它的平均大小写复杂度相关的乘法常数更低）。这意味着，如果排序元素的数量任意大，则快速排序始终是最佳选择，因为平均而言，它会更快

最后，当你看一看算法中的步骤时，一个具有更高“隐藏乘法常数”的算法有时是显而易见的，但在实践中，这实际上是较少的数学性和更多的实验性在您的算法中，算法是由处理器执行的，这取决于它的体系结构、您如何使用编程语言来指导它、处理器如何缓存/获取内存、操作系统的系统调用过程等

总之：可以肯定的是，如果算法A具有更好（更低）的平均情况比算法B复杂，则存在一些
N
，其中A对于大于
N
的问题实例，平均比B更快地解决问题。我们可以测量性能以查找（或近似查找）最低的
N
。如果算法A与另一个相比显然是赢家，那么
N
可能是
0
，但具有讽刺意味的是，低复杂度的算法往往更复杂，通常在每一步执行更多的分析，这会产生一些开销，使它们在小问题实例中运行得更慢

FinalFinal注释：如果您可以找到最低的
N
，那么对于大小大于
N
的问题，算法A总是比算法B快，那么这实际上并不意味着相反：可能不存在大小小于
N'
将通过B更快地解决。如果存在这种
N'
，则通常存在一个“中间”大小范围，其中两个选项之间的主要效率会发生变化，如下所示：


1-83，B更快
84-92，A更快
93-111，B更快
112以后，A更快

如果问题在大小约为90（超过一毫秒左右）时解决得很慢，那么我们可能会进行全范围检查，看看哪个是最好的。否则，我们可能只会说
If（n>111）做A
，即使我们知道有一些实例将由B解决，而A会更快地解决。如果在较小范围内做B的效率效益不够显著，我们可能总是选择A很容易看出你是否绘制了ose函数具有正确的常数。它在这里

另一个事实是，当n越小，计数排序就越好。