Algorithm 找到跨越给定最小生成树的最小权重完整图

设T=（V，E）是一棵树，树上有

|V |

顶点和

|E |=| V-1 |

边，代价已知。我们想要构造一个最小权完全图G=（V，E'），它跨越T作为它唯一的最小生成树

例子：考虑下面的树T边在<强>红色< /强>中有一定的代价。将添加虚线边以从此树构建完整的图形

跨越T作为其唯一MST的最小权重完整图G如下所示：

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我试图找到一个（多项式时间）算法来生成这个图。我主要是在寻找一个提示，而不是完整的解决方案。到目前为止，我设计了以下算法：

1） 找到包含最重的MST边（重量

w_max

）且没有其他MST边的图的切面。所有其他边缘必须为

w_max+1

。以下图片说明了我的想法：

边（1--2）、（1--4）、（4--5）、（2--3）和（2--5）包含在该切割C中。MST中包含的唯一边是边（2--3），它是MST中最重的边，具有

w=56

。因此，所有其他边应具有

w=57

。证明：假设相反；我们可以用另一条边替换（2--3），并且仍然保持树的连接。现在树的重量较轻，因此（2-3）不属于MST。矛盾

2） 按重量递减顺序，对MST重量

w_i

的所有其他边缘

e_i

重复上述步骤。进行仅包含

e_i

且不包含其他MST边的切割。此切割的任何未知非MST边缘的重量应为

w_i+1

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问题:

1） 上述算法正确吗？根据切割特性，应为

2） 我能做得更有效率吗？我没有一个算法来找到头顶上的伤口，但我觉得这种方法不太有效

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编辑：我脑海中的另一种方法是基于Kruskal算法的方法：

1） 使用联合查找，我通过提升成本迭代所有MST边，并统一同一组件下的相应顶点

2） 在每一步中，两个不同的组成部分通过成本边缘统一起来。在同一（新）组件内形成循环的任何其他边的成本应为

w+1

回答我自己的问题

下面是我提出的一个有效答案，也是@sasha的反馈。 假设我们想要计算完整图G的总权重，即

设T=（V，E）是具有已知权重的| V |顶点和| E |=| V |-1边的树。计算跨越T作为其唯一最小生成树的最小权重完整图G=（V，E'）的总权重

w_total

。 注意：边权重是自然数

算法：

使用

|V |

单例组件初始化联合查找

按递增权重对

T

的所有边进行排序。运行时间：O（| V |*log | V |）

迭代

T

的下一条边

e=（v1，v2）

。将其重量

w_e

加到

w_total

中

查找联合中的

v1

和

v2

组件查找：

set1

，

set2

，分别包含

size1

和

size2

顶点

这些组成部分将统一起来。由于

G

是一个完整的图，因此将添加

size1×size2

边：一条边是MST

e

边，所有其他边都必须比

e

重，因此Kruskal的算法将忽略它们。因此，它们的最小重量应至少为

w_e+1

w_total+=（size1×size2-1）×（w_e+1）

统一两个组件

set1

和

set2

对下一个MST边缘

e

重复步骤

2

运行时间：O（| V |*log | V |）

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如果问题变成：详细列出完整图形的所有边

e=（v1，v2）

及其权重

w

，我们只需在步骤

6

和

7

之间执行以下操作：

for all vertices v1 in set1
  for all vertices v2 in set2
    create edge e = (v1, v2); ignore if edge is the MST edge
    w_e = w_mst_edge + 1

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因此，运行时间变成O（| E |+| V |*log | V |）=O（| V |^2），因为我们有| E |=| V |*（| V |-1）/2条边，在完整的图

G

中，我无法正式地证明它，但似乎kruskal方法和你的切割方法是间接相同的，不确定你的切割算法是否有一个不好的复杂性，这是正确和有效的