Algorithm 当地图被三角化时，四色定理容易吗？

当地图被三角化时，四色问题是否容易解决

出于调试的目的，我想用尽可能少的颜色为凸面3D多面体表面的三角形着色（这样我就有了很多清晰可分辨的颜色来为特殊感兴趣的三角形着色）

四色定理表明，四色就足以做到这一点，但我希望在曲面是三角剖分的附加条件下，与一般情况相比，有更简单、更有效的算法

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另外，在我的几个擦伤例子中，我总是可以用3种颜色来做。

如果你考虑四面体，就没有办法用3种颜色来对它的脸/三角形进行着色。因此，尺寸为3的三角化凸多面体的面不能用3种颜色着色。但这恰好是唯一的反例

事实上，您尝试着色的图形是立方的（在每个面中放置一个顶点，并将其连接到三个相邻面），即每个顶点都有阶数3，并且它也是连接的。因此，通过，每个K_4不同的三次连通图最多可以着色3种颜色

编辑：

我在第一次阅读时没有注意到你也在寻找算法。我所知道的布鲁克斯定理的证明是有建设性的，因此我们有一个算法来解决你的问题

利用多面体的对偶图，我们得到了我们想要着色的图总是3连通的。这并不是真的需要，因为证明适用于另一个案例，但这是一个更简单的案例，所以让我继续讨论3-连通案例，因为它是您的案例

取任意三个顶点v_1，v_2，v_n，使v_n与其他两个相邻，但v_1和v_2不相邻（对于完整的图，这样的三元组不存在）。利用图是3连通的，很明显，如果我们去掉v_1和v_2，得到的图仍然是连通的

以序列v_3，v_4，…，v_n排列其余顶点，这样对于每个v_i存在j>i，使得v_i和v_j相邻（这就像Prim从v_n开始的算法中构造生成树一样）。将v_1，v_2置于序列的开头，从而获得v_1，v_2，v_3，…，v_n

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将颜色1用于v_1和v_2（这是有效的，因为它们不相邻）。现在，按顺序贪婪地为序列的其余部分着色，即为每个顶点指定第一个有效颜色（第一个未指定给已着色的相邻顶点）。对于v_n以外的每个顶点，我们都有一个“右邻居”，因此使用的颜色不超过3种。对于v_n，它也可以工作，因为v_1和v_2都有颜色1。现在我们有了一个图的3-着色，算法在图的大小上是线性的。

谢谢，我现在有了这方面的代码，它不会崩溃，并且至少在我的几个例子中返回了正确的结果。奇怪的是，我发现在大多数例子中，只有少数三角形需要第三种颜色。现在我想知道是否需要第三种颜色来表示网格的某些属性？（从技术上讲，第三种颜色的稀有性显然是平滑算法的结果，将每个三角形划分为6个新三角形）