Algorithm 拓扑排序

给定具有N个节点的DAG，每个节点都有一个值（例如，0.2、0.5、1.3、0.1…）。我想将顶点排序为一个链。难点在于在对节点进行排序时存在一个目标函数

例如，链是x-->y-->z-->w。每个链接都有一个权重，例如（x，y）权重=x，链接（y，z）权重=xy，链接（z，w）权重=xyz等等

目标函数是最小化所有链接重量的总和（此处为链：x+xy+xyz）

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我一直在想这件事。但我现在不知道。是否有人能给出一些关于算法设计或问题复杂性证明的想法？谢谢。

这是kevmo314提到的算法，用Python实现。也许它应该在C中重新实现，用位操作替换集合操作

我们可以重写目标

x + x*y + x*y*z = x*(1 + y*(1 + z)),

所以假设所有的权重都是正的，总体目标在子问题目标中是单调的，这允许动态规划

def optimal_order(predecessors_map, weight_map):
    vertices = frozenset(predecessors_map.keys())
    memo_map = {frozenset(): (0, [])}
    return optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices, memo_map)


def optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices, memo_map):
    if vertices in memo_map:
        return memo_map[vertices]
    possibilities = []
    for v in vertices:
        if any(u in vertices for u in predecessors_map[v]):
            continue
        sub_obj, sub_order = optimal_order_helper(predecessors_map, weight_map, vertices - frozenset({v}), memo_map)
        possibilities.append((weight_map[v] * (1.0 + sub_obj), [v] + sub_order))
    best = min(possibilities)
    memo_map[vertices] = best
    return best


print(optimal_order({'u': [], 'v': ['u'], 'w': [], 'x': ['w']}, {'u': 1.2, 'v': 0.5, 'w': 1.1, 'x': 1.001}))

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贪婪不就是为了这个吗？由于是拓扑排序，每个子问题都独立于父问题。否。我不这么认为。这里是一个反例：DAG由两个独立的链组成：1.2-->0.5和1.1-->1.001。优化的排序链应为1.2-->0.5-->1.1-->1.001。也许对于一个贪婪算法，链应该是：1.1-->1.001-->1.2-->0.5（最小顶点优先）。你能给出更多关于贪婪算法的想法吗？节点值是否重要，或者仅仅是链接权重？@user2585677你贪婪地选择下一个状态，而不是下一个节点。实际上，这只是状态空间上的Dijkstra，其中距离是下一个节点的边际成本。这应该在O（n log n）中运行，其中n是状态数，所以O（v*2^v），这对于几十个节点来说是好的，但对于一般的n不起作用。此外，您的反例与您的问题陈述相矛盾，因为您将链接（z，w）的权重定义为xyz，所以输出只是总和，但我知道你的意思可能是重量是z，选择链接的成本是之前重量的乘积。聪明，优秀！！你帮我了解问题的性质和背景。