Algorithm 面的邻接或边列表

如何从平面图的边列表或邻接列表表示转到面列表

例如，对于这个图（奇怪的是，它没有0索引）：

我想要一个如下所示的列表：

[
[1,2,8,7],
[1,2,4,3],
[1,3,5,7],
[2,4,6,8],
[5,6,7,8],
[3,4,6],
[3,5,6]
]

它不必是那种格式或顺序，但它应该是所有面的某种列表（或集合）。包括外表面

---

对于有V个顶点的图（E=O（V），因为是平面的），算法应该在O（V）中生成此列表。

简单的回答是：您必须实际布局图！更确切地说，你必须在平面中找到一个图的嵌入——假设有一个图没有交叉边

因此，您上面的嵌入是：

1: [2, 7, 3]
2: [1, 4, 8]
3: [1, 5, 6, 4]
...

这是每个顶点在其相邻集上的顺序。您必须指定该顺序是顺时针还是逆时针，否则应全部指定

一旦你有了嵌入，就可以使用一个新的工具来恢复这些面。这看起来比实际情况更复杂，尽管它确实涉及飞镖（或旗帜）

首先，将每条边分解为标志（顶点+半边）并进行排列（wiki描述中的sigma）以存储地图。例如，我们可以按照与地图相同的顺序标记标志，然后1:[2，7，3]变成{1->2:1，1->7:2，1->3:3}等等

例如，立方体（注意：删除了中间边！）：

然后计算alpha（对合置换），它只是将标志映射到边缘上的另一个标志。最后，φ是这两种排列的乘积，φ的循环给出了面

---

这样，从图像中的φ，我们有（1, 6, 24，19）是外表面（注意这些是飞镖，所以我们考虑它是从顶点开始的）。

< P> > GeLeAIn在他的回答中提到，你必须实际布局图，因为如果你只给出拓扑，就可以有多个布局。这里我将给出一些算法分析，然后给出一个简单的解决方案

引理1：一条边至少涉及一个面，最多涉及两个面 脸

证明：我们在二维空间中绘制，所以一条线将平面分成两半

这意味着我们可以在每个边上附加一个“容量”，初始化为2。当我们找到一个包含边的面时，我们从中减去1

由于面在平面图中是一个循环，因此在给定上述约束的情况下，问题转向寻找循环

引理2：如果我们检查两个有效解之间的差异，它们在具有互补能力的边上不同（1对2和2对1）

证明：参见图。

因此，当您在查找解决方案时耗尽边的容量时，您会自动排除导致另一个解决方案的模糊性

因此，简单的解决方案是在图中执行DFS以查找循环。找到一条边后，减去相关边的容量。当容量达到0时，考虑DFS进一步移除边沿。strong>注意，当发现一个循环时，我们必须检查其中的所有边是否具有容量1。如果是这样，则必须跳过此循环，因为将此循环包含到结果中会导致重复计数。

def DFS-Tarjan(v, capacities, stack)
    for e in N(v):
        if capacity[e] != 0:
            if stack.contains[e.target] AND NOT all of them have capacity 1:
                output-loop(stack, e.target)
                for e2 in stack:
                    capacity[e2] -= 1
            else:
                stack.push(e.target)
                DFS-Tarjan(v, capacities, stack)
                stack.pop(e.target)
        else:
            pass # capacity drained

def find-faces(g):
    initialize capacities of g.E to [2...2]
    for v in unvisited(g.V):
        DFS-Tarjan(v, capacities, [])

---

如果更改DFS的顺序，可以找到多个解决方案。对于单个解决方案，算法为O（V），因为每条边消耗不超过两次。

您需要生成图形的平面嵌入。一个问题是，通常一个双连通图可以生成多个平面嵌入

文中给出了一种平面性测试和嵌入算法，解决了在O（V+E）时间和内存中生成图的所有可能的平面嵌入的问题（对于具有V个顶点和E个边的双连通图，在O（p（V+E））时间和O（V+E）内存中）内存以生成所有可能的唯一平面嵌入，其中P是嵌入的排列数）

第5章详细介绍了测试图的平面性，然后为每个顶点生成循环边顺序所需的算法（以及如何迭代到嵌入的下一个排列）

---

给定循环边顺序，当您到达每个连续顶点时，可以通过循环边顺序中的每条边和下一条顺时针（或逆时针）边生成图形的面。

邻接列表是否按角度排序？如果不是，可能是吗？有趣的答案。我对图表不太清楚-颜色是什么意思？还有-也许你知道这一点，但是-在答案正文中，在用户名前加“@”没有任何作用：）@gilleain是的，我只是希望有一天他们会在答案文本中添加“@”功能。在图中，绿色=面1的边，红色=面2的边。对于中间的图形，这两个面似乎是重叠的，但是通过调整布局（将底部顶点移到顶部），我们可以看到这仍然是一个有效的解决方案——我认为这是为什么这个问题有趣的一部分：）通过DFS查找循环并不等同于寻找人脸。可以在DFS中找到一个循环，然后将定义在此循环中的区域由DFS中的其他路径平分，这样面实际上是由原始循环和平分定义的两个子区域。这可以用连续的子区域重复。@MT0请参见引理2。虽然我们可以计算更大的外部循环，但该算法确保它不会进一步计算更大循环内的所有循环。因此，通过调整布局，我们使较大的周期变小，较小的周期变大，使其看起来像两个不相交的面。请在您的解释中详细说明，因为它目前似乎没有意义，并且不清楚在您的“引理2”中证明了什么。您似乎严重依赖DFS处理边缘的顺序-如果这是不确定的，则您的算法无法在常规ca中工作