Algorithm 最小编辑距离动态规划法的正确性证明

为了计算最小编辑距离（将一个单词转换为另一个单词所需的最小插入、删除和替换量），动态规划解决方案基于递归关系，其中检查两个字符串的最后一个字符。详情见附件

当涉及到编辑距离时，该算法的描述在互联网上随处可见，但所有这些算法都只是在没有证据的情况下断言其正确性。通过编辑距离的定义，你可以插入、删除或替换中间的字符，而不仅仅是在结尾。那么，如何证明这种递归关系实际上成立呢？

使用归纳法来证明递归算法是正确的 首先，正如我在评论中所说，您可以将动态编程视为加速递归的一种方法，而证明递归算法正确性的最简单方法几乎总是：证明它在一些小的基本情况下是正确的，然后证明，假设它对大小为n的问题是正确的，那么它对大小为n+1的问题也是正确的。这样，证明与递归结构非常相似

对于所有0=2或j-j'>=2，此问题通常的递归将“查找将字符串A编辑成字符串B的最小成本”问题分解为（|A |+1）（|B |+1）子问题“查找将字符串A的前i个字符编辑成字符串B的前j个字符的最小成本”

---

基本上，如果我们沿着这棵树走一步，两个“子问题坐标”（i或j）中至少有一个会减少，但不会超过1。这意味着，如果我们继续沿着树往下走，那么不管我们在往下走的过程中选择了哪一个“子”子问题，我们最终必须找到一个坐标为（至少）0的子问题，也就是说，对于某些坐标为0的子问题，我找不到任何令人满意的证明，所以我做了一个。我读过的所有证据实际上并不能证明这些案例都是详尽无遗的

（A）始终存在至少一个最佳编辑序列，并将其称为Eo

这是微不足道的

（B）在Eo中，有些字符永远不会被插入或更改。最后一个这样的字符称为pivot

如果没有，我们可以使用字符串的开头作为轴。在Eo中，这个公共子序列从头到尾都不会改变。我们不是假定它是最长的公共子序列或任何东西

e、 （g）#小猫#坐着→ 枢轴：'#ITTN'[-1]='N'

这个轴心有一些特性，使问题变得更容易

枢轴的左侧和右侧相互独立。在一侧发生的任何编辑都不会影响另一侧

根据定义（B），目标字符串轴右侧的所有字符都应通过替换或添加来更正

由于（1）我们只需要考虑原始字符串和目标字符串的支点的右侧。让我们假设左侧是最优的（贪婪的），编辑的数量将添加到总数中。
e、 g）
#weofanbmcdepmqu->eopasbctdewni
只考虑PMQU→ wni
使用（2）这个子问题可以如下解决。
len（原始）>len（目标）：asdfgh→qwer
删除len（原始）-len（目标）次以适应长度，替换len（目标）次以适应字符。这可以按任何顺序进行，因为它们在距离上都是相等的。在最后一次编辑时删除最后一个字符是这样的解决方案之一，它等于dp（原始[：-1]→目标）+1
len（原件）这是我的证明：

为了从字符串A到B，我们从左到右执行一组最佳操作。有4个操作：EQ（保留字符）、SWAP（更改字符）、INS（插入字符）、DEL（删除字符）。这是编辑距离的定义，其代价为EQ==0

将A的长度定义为A，将B的长度定义为B

将d[a，b]定义为a的前a个字符和b的前b个字符之间的编辑距离，这意味着在a上进行的操作数（除EQ外）可以到达b

如果我们看一系列最佳操作（必须有一个），最后一个操作有4个选项。我们不知道最后一个操作，所以我们检查了所有4个选项，并选择了最佳选项（最佳表示最小编辑距离）

如果最后一个操作是EQ，这意味着A[A]==B[B]，编辑距离等于d[A-1，B-1]，因为EQ不被视为“编辑距离”成本

如果最后一次操作是交换，则意味着A[A]=并且编辑距离等于d[a-1，B-1]+1

如果操作为INS，则表示编辑距离为d[a，b-1]+INS（至b） 如果操作为DEL，则表示编辑距离为d[a-1，b]+DEL（从a开始）

我们只需从最后一个操作到第一个操作的所有组合，直到找到最佳路径。实际上，每一步有3个操作，因为我们可以根据当前字符是否相等来决定是检查EQ还是交换。（如果它们相等，则无需检查交换操作，反之亦然）

---

由于我们尝试了所有可能的操作，递归公式必须为真。

您可以将DP视为加速递归的一种方法，证明递归算法正确性的最简单方法几乎总是通过归纳法：在一些小的基本情况下证明它是正确的，然后证明，假设它对大小为n的问题是正确的，这对于大小为n+1的问题也是正确的。这样，证明紧密地反映了递归结构