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Algorithm 支持对一组二维点进行特定查询的数据结构

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Algorithm 支持对一组二维点进行特定查询的数据结构,algorithm,Algorithm,我有一组2D点，我希望能够使用参数x_min和n进行以下查询：具有最大y的n点有哪些x_min 要在Ruby中重新措辞： class PointsThing def initialize(points) @points = points end def query(x_min, n) @points.select { |point| point.x > x_min }.sort_by { |point| point.y }.take(n) end end

我有一组2D点，我希望能够使用参数
x_min
和
n
进行以下查询：具有最大
y
的
n
点有哪些
x_min

要在Ruby中重新措辞：

class PointsThing
  def initialize(points)
    @points = points
  end

  def query(x_min, n)
    @points.select { |point| point.x > x_min }.sort_by { |point| point.y }.take(n)
  end
end
理想情况下，我的类还支持插入和删除操作

我想不出一种数据结构能让查询在不到O（|@点|）的时间内运行。有人知道吗？

如果您的数据没有排序，那么您别无选择，只能检查每个点，因为您无法知道是否存在另一个点，其中y大于所有其他点的y，并且对于该点，
x>x\u min
。简言之：如果你不全部检查，你就不知道是否应该包括另一点

在这种情况下，我假设不可能按照您的要求签入sub线性时间，因为您必须全部检查它们。搜索所有对象的最佳情况是线性

如果对数据进行了排序，那么最好的情况是恒定时间（所有n个点都是y最大的点），最坏的情况是线性的（所有n个点都是y最小的点）。平均情况会更接近常数，我想如果你的x和x_min在特定范围内都是随机的

如果您想将其缩放（也就是说，可以有较大的n值），那么您还需要对结果集进行排序，因为您需要对照它检查新的潜在点，并在插入时删除最小值（如果大小>n）。使用树，这可以是日志时间

所以，要做整个事情，最坏的情况是对于未排序的点，在这种情况下，您看到的是nlog（n）时间。排序点更好，在这种情况下，您可以查看log（n）时间的平均情况（再次假设x和x_min的值大致随机分布），这是次线性的

如果一开始不清楚为什么排序的点会有固定的搜索时间，我将在这里快速地讨论

如果y值最大的n个点都有
x>x_min
（最佳情况），那么您只需要从顶部抓取您需要的，因此这种情况很明显

对于平均情况，假设x和x_min大致随机分布，
x>x_min
的几率基本上是一半。对于任意两个随机数a和b，
a>b
与
b>a
一样可能为真。这与x和x_min是一样的
x>x_-min
与
x_-min>x
的概率相同，即概率为0.5。这意味着，对于您的分数，平均每检查一秒，您的
x>x_min
要求将得到满足，因此您将平均检查2n个点，以找到满足您标准的n个最高点。所以最好的情况是c时间，平均值是2c，这仍然是常数

但是，请注意，对于接近集合大小的n值，这隐藏了这样一个事实，即您正在遍历整个集合，基本上将其恢复到线性时间。所以，如果你假设n的随机值在你的集合的大小范围内，那么我关于时间常数的断言就不成立了

如果这不是一个纯粹的学术问题，而是出于某种实际需要，那就要视情况而定

（编辑）
我刚刚意识到，我的常量时间断言假设了一种数据结构，在这种结构中，您可以直接访问最高值，并可以按顺序访问较低的值。如果提供给您的数据结构不符合该描述，那么显然情况并非如此。

在这种情况下，一些预计算将有所帮助

首先以x_min为轴心元素对点集进行分区

然后，对于位于x_min右侧的一组点，基于y坐标构建max_堆

现在以以下方式运行查询：在构建的最大值堆上执行n个extract\u max操作

查询的运行时间为logx+log（X-1）+。。。。。日志（X-（n-1））

日志X：用于第一次提取最大值操作

日志X-1：用于第二次提取最大值操作，依此类推

X：原始最大堆的大小

即使在最坏的情况下，当您的n符号

设
p
为点集

让
top_y（n，x_min）
描述从
p
收集
n
点的查询，其中x坐标大于或等于'x_min'的点的最大y坐标

设
x_0
为点集中x坐标的最小值。通过点集
P
的x坐标集，将
x_0
右侧的x轴划分为一组左侧闭合、右侧打开的间隔
I_I
，使得
min（I_I）
是
P
第四个但最小的x坐标。将
x
的坐标秩
r（x）
定义为区间的索引
x
是元素，如果
x
，则定义为0

请注意，
r（x）
可以在
O（log#（{I_I}））
中使用二叉搜索树进行计算

简单解决方案

  • 通过减少y坐标对点集进行排序，并在时间
    O（#p log#p）
    和空间
    O（#p）
    中保存此数组

  • 通过按顺序遍历此数组，跳过项
    A\u i:A\u i.x
    ，计算所有其他项，直到计数器达到
    n
    或您位于
    A
    的末尾，来处理每个查询
    top\y（n，x\u min）
    。此处理需要
    O（n）
    时间和
    O（1）
    空间

    • 注意，这可能已经足够了：查询
    top_y（n_0，a_0）；a_0