Algorithm 在给定时间范围内查找多集的模式（最大多重性）

给定的问题：

多集是其中某些元素出现一次以上的集合（例如，{A，f，b，b，e，c，b，g，A，i，b}是多集）。这些元素是从一个完全有序的集合中提取的。呈现一个算法，当以多集作为输入呈现时，查找多集中出现次数最多的元素（例如在{a，f，b，b，e，c，b，g，a，c，b}，b中出现次数最多）。算法 应在O（n lg n/M+n）时间内运行，其中n是多集合中的元素数，M是多集合中元素的最高出现次数。请注意，您不知道M的值

[提示：使用基于列表中位数的分而治之策略。分而治之策略生成的子问题不能按顺序小于“特定”大小 实现给定的时限。]

我们最初的解决方案是：

我们的想法是使用摩尔多数算法来确定多集是否包含多数候选集（例如，{a，b，b}具有多数，b）。在确定这是真是假之后，我们要么输出结果，要么使用给定的算法（称为Select）找到列表的中位数，并将列表拆分为三个子列表（小于或等于中位数的元素，以及大于中位数的元素）。同样，我们将检查每个列表，以确定是否存在多数元素，如果存在，这就是您的结果

例如，给定多集{a，b，c，d，d，e，f}

第一步：检查多数票。未找到，请根据中位数拆分列表

第二步：L1={a，b，c，d，d}，L2={e，f}找到每一个的多数。未找到，请再次拆分列表

步骤3:L11={a，b，c}L12={d，d}L21={e}L22={f}检查每个元素的多数元素。L12返回d。在这种情况下，d是原始多重集合中出现最多的元素，因此是答案

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我们面临的问题是，这种类型的算法是否足够快，以及是否可以递归完成，或者是否需要终止循环。正如提示所说，子问题不能小于“某个”大小，我们认为它是M（发生次数最多）

如果您想在现实生活中这样做，那么值得考虑使用哈希表来跟踪计数。每个哈希表访问的复杂度可以分摊为O（1），因此下面Python代码的总体复杂度为O（n）

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如果你像在你的文章中描述的那样以最直接的方式使用递归，它将不会有期望的时间复杂度。为什么？让我们假设答案元素是最大的。然后它总是位于递归的右分支。但是我们首先调用左分支，如果所有元素在那里都是不同的，那么左分支可以更深入（得到大小为

1

的片段，而我们不想让它们小于

M

）

下面是一个正确的解决方案：

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让我们按照问题中的描述，在每一步将数组分成三部分。现在让我们暂时离开，看看我们有什么：递归调用形成一棵树。为了获得所需的时间复杂度，我们永远不应该深入到答案所在的层次。为了实现这一点，我们可以使用带队列的广度优先搜索而不是深度优先搜索来遍历树。就这样

你能详述你的解决方案吗？因为我们不知道M的值（发生次数最多），我们如何继续沿着树往下走，直到找到答案？例如，使用输入{abcdef}。那么对于这个集合，我们还是先考虑摩尔多数算法吗？如果集合中没有多数元素，则根据中位数将列表分为三个列表，低、中、高？@MichaelSalvador Yes。但是，如果左半部分不包含多数元素，我们将首先处理中半部分和上半部分，而不是将其拆分。只有在它之后，我们才能进入下一层。我想我会跟随，但我很好奇，如果我们有这样一个列表，会发生什么。中位数将被计算为“d”，这将导致在树的下一级生成三个列表{abc}{dd}和{eee}。现在多数算法将返回中位数列表的d，尽管d不是我们的正确答案。一旦检查了列表的该部分，也将返回e。由于这两个元素，树将不会继续。在这一点上还有其他的比较吗？还是我做得不对？@MichaelSalvador我们需要继续探索其他部分，直到剩下的部分变得更小。所以最后一个应该被检查，然后在这个例子中结束了。但是，在“D”和“E”都返回的情况下，我们必须考虑每个列表的长度吗？我们怎么知道答案是e而不是d？多数算法将同时返回这两个元素，因为在这种情况下，d和e都是每个子列表的多数元素。

import collections
C = collections.Counter(['a','f','b','b','e','c','b','g','a','i','b'])
most_common_element, highest_count = C.most_common(1)[0]