Algorithm 从DAG创建强连接零部件

我试图从有向无环图中创建强连接的组件

输入是表单中的边列表

1 2
3 5
etc

我需要创建一个最小边集的输出点，将其添加到给定的图中，以生成强连接组件的图

有什么想法吗

以下是我正在寻找的一个例子：

根据输入：

1 3
1 4
2 3
2 4
5 7
5 8
6 8
6 9

输出将是添加以创建强连接组件所需的最小边数

输出：

3 1
4 5
7 6
8 1
9 2

---

如果我正确理解了您的问题，您应该使用图形的邻接矩阵表示。最初，它将是一个1的稀疏矩阵，或者是当前边所在的位置

使用矩阵的简单遍历，创建SCC所需的所有0元素->1，每个转换都将是需要添加的边

还有一个很好的wiki页面，显示了用于此目的的可能流行算法：

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它推荐了最实用的方法和算法。

假设图中没有孤立的顶点，您只需添加max（| sources |，| sinks |）边即可使其强连接

设T={t1，…，tn}为汇，{s1，…，sm}为DAG的源。假设n2），（t2->s3），…，（tk−1->sk，（tk->s1）}。很容易看出，通过添加这些边，由M诱导的顶点在G中是强连通的

现在考虑G（t，s）中的剩余顶点。因为M最大，S中的每个顶点−M（分别为T−M） 应连接到T（分别为S）中的顶点−M） 。所以我们任意配对剩余的顶点，比如{（tk+1，sk+1），…，（tn，sn）}，并在G中添加相应的有向边。对于每个剩余的源顶点源si（i属于{n+1，…，m}），我们在G中添加边（t1->si）。因此添加的边的总数是最大的（|源|，|汇|）

编辑：添加几个示例

对于输入中的示例，我们首先计算最大匹配，例如：

3--1
4--2
7--5
8--6

因此，我们添加了边：

3->2
4->5
7->6
8->1

4->5
6->9
11->1

匹配中不存在的剩余（汇）顶点是9，因此我们将从9到匹配中的任何源顶点添加弧，例如

9->1

下面是另一个示例，说明了算法的所有步骤：

输入图形：

12 3   5    9 10  (sources)
\|/   /|\    \/
 4   6 7 8   11   (sinks)

最大匹配：

4--1
6--5
11--9

因此，我们添加了边：

3->2
4->5
7->6
8->1

4->5
6->9
11->1

现在剩下的汇是

{7,8}

，剩下的源是

{2,3,10}

。我们将7与say 2任意配对，将8与say 3任意配对，并添加：

7->2
8->3

最后，剩余（源）顶点为10，我们添加：

4->10

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不清楚你的意思是什么。每个顶点本身形成一个强连接的组件。所以你不必添加任何边。但我想你心里有一个不同的问题？@krjampani你说的是真的…但是当有一个图，它们可能没有连接时，这些就变成了组件。我正在尝试创建一个算法来连接它们有效地ct这些未连接的图，以便它们成为强连接组件。因此，是否要将每个弱连接组件转换为强连接组件？如果弱连接组件是DAG，则可以通过将所有可能的边从汇顶点添加到源顶点来使其强连接。这些也要最小。@krjampani这很有意义！我正试图把它的复杂性降低到线性时间。这可能吗？想法？你能在图中添加新的顶点以使其强连接吗？你到底想要一个强连接的组件吗？你能提供一个你想要的例子吗？我刚刚阅读了算法还有两个后续问题。1.从我的阅读来看，这些算法似乎是用来识别强连接的组件，而不是找到需要添加哪些边来创建它们，因此我不确定如何实现。2.如果我使用邻接矩阵表示，并简单地将所有0个元素设为1来创建新的edge，我最终会得到一个完全连通的图，不是吗？不是创建强连通组件所需的最小边数谢谢！不过我很难理解它…你认为你可以用我的示例数据一步一步地研究它吗？我目前正在做这件事，但我不太清楚。我真的很感激e it.不客气。添加了几个示例。希望它们能更清楚地表达出来。投票一百万次！但是，我确实有几个更清楚的问题…首先，你能解释更多关于最大匹配的内容吗？以及如何识别它吗？其次，我数了7条边添加到你的示例中。根据假设，应该只有5条边吗n添加的顶点的最小数量应为MAX（源、汇），因为源=5，汇=5？*添加的边（非顶点）的数量您是对的。第二个示例存在一个小问题。现在已修复。但请注意，源的数量为6，因此需要添加6条边。