Algorithm 获取一个数字的最短可能序列

序列的第一个元素是

1

i、 e.

A[0]=1

A[i+1]

可以是

2A[i]

或

A[i]+1

我们必须找到尽可能短的序列

e、 g:

If N is 18
 A[0]=1, A[1]=2,4,8,9,18

所以我的代码基本上是

 int count = 0;
 for (int i = N, i != 1;){
 if (i % 2 == 0) { 
     i /= 2;
     ++count;
 } else{
     --i;
     ++count;
 }
 return count;

如您所见，该算法非常简单，将返回最短的长度。然而，最糟糕的时间复杂度是

O（N）

---

有没有办法使它成为O（logN）？

您的算法已经是O（logN））。要看到这一点，您的算法可以重写如下：

 int count = 0;
 for (int i = N; i != 1;) {
   if (i % 2 == 1) { 
     --i
     ++count;
   }
   i /= 2;
   ++count;
 }
 return count;

对于每一位，要么除以2，要么减去1再除以2。由于您每比特执行的操作数不取决于N的大小，因此时间是O（log（N））

关于为什么这样做的一些细节 如果你用二进制来思考。乘以2等于将位左移1。添加一是将最右边的位设置为一。因此，只要读取N的二进制值，就可以找到操作序列

N=18是二进制的10010，所以我们有

1 = starting value:            1
0 = multiply by 2 :            2
0 = multiply by 2 :            4
1 = multiply by 2 and add one: 8,9
0 = multiply by 2 :            18

这个解决方案不一定是唯一的，但它总是至少和任何其他解决方案一样短。要了解原因，您只需观察到在一行中两次添加一等于将一添加到位1并将位0调零：

xxx01 -> xxx10

但是，如果在前面添加一个，则可以得到相同的结果，因此在一行中添加两次一个没有任何好处。因此，一个最佳的操作序列包括重复乘以两次，并在每次乘法之间选择性地加一次