Algorithm 在最小堆中查找k个最小元素-最坏情况复杂性

我有一个包含

n

元素的最小堆，希望从这个堆中找到

k

最小的数字。最坏情况的复杂性是什么

我的方法是：在stackoverflow的某个地方，我读到在最小堆中查找第I个最小数的复杂性是

O（I）

。因此，如果我们想找到

n-1

最小的数字（n是无意义的，因为它将是整个堆），那么总的复杂性将如下所示：

O（n-1）+O（n-2）+O（n-3）+…+O（2）+O（1）=O（1+n-1）*（n/2））=O（n^2）

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这对吗？

不，时间比那好多了

O（k log（n））

非常容易，如果你聪明的话，

O（k）

从堆中查找和删除最小的元素是

O（log（n））

。这很容易导致

O（k log（n））

时间

但是，您正在考虑的结果是，它显示了如何在时间

O（k）

中找到

k

第个最小数的大小。现在使用堆是二叉树这一事实，从根开始，对找到的每个小于最大值的数字进行递归搜索。然后用

k

第四个最小数字的副本填写列表的其余部分

在该搜索中，您将查找最多为该大小的

k-1

，对于其中一些，您将查找最多为2个太大而无法处理的孩子，最多为

3k-3

元素。这使得整个算法

O（k）

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那个链接因为bitrot而失效。希望能持续更长时间。

我怀疑是否有可能在时间O（k）内识别出第k个最小元素。我以前见过的最好的算法是O（k logk）算法，它还可以通过识别k个最小元素方便地解决您的问题。您可以在中或上阅读详细信息

基本思想是操作辅助堆。最初，这个辅助堆只包含原始堆的根。在每个步骤中，算法都会删除次堆的min，并将其两个原始子堆（即原始堆中的子堆）插入次堆

这个算法有一个很好的特性，在第一步，它从二级堆中删除的元素是第i个最小的元素。因此，经过k个步骤后，从二级堆中删除的项集正好是k个最小的元素。这个算法是O（k log k），因为有O（k）个删除/插入到二级堆中，二级堆的大小上限为O（k）

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编辑：我站起来更正！btilly的答案提供了一个O（k）的解决方案，使用的结果来自。

不可否认地认为，在最小堆中查找第k个最小元素的O（k）时间算法是一个真正需要实现的非常棘手的算法@灰胡子的措辞调整了。@greybeard哎呀，我指的是孩子。你链接的O（k log k）算法对我来说是新的，看起来非常实用——实现起来很简单，可能比Frederickson的最优O（k）时间算法快得多。