Algorithm 给定所有根，如何在时间上比O（n^2）更快地找到多项式的系数？

给定一个多项式的所有根，我必须找出一个比O（n^2）更快生成系数的算法。我很难解决这个问题。我很确定我应该使用快速傅里叶变换或逆傅里叶变换的概念，但我不知道如何修改输入，使其不是单位的第n个根。有人能给我指出正确的方向吗？

这里有一个O（n*（log n）^2）解决方案：

基本情况：对于一个根a，答案就是x-a

假设我们有一个包含多个根的列表。我们可以递归地解决列表的前半部分和后半部分的问题，然后使用快速傅立叶变换将结果相乘

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时间复杂度是从方程T（n）=2*T（n/2）+O（n logn）得到的，根据主定理，它是O（n*（logn）^2）。

kraskevich基本上确定了这一点。缺少一些详细信息，并且它太长，无法放入注释字段。详情如下

基本上，您希望将其设置为多项式乘法问题。您的输入将是p1，…pN，其中pj（x）=（x-rj）

以下是伪代码：

function multipley2poly（p1，p2）
//这里，使用FFT、乘法和IFFT返回
函数多重多项式（p[1]，…p[N]）
如果（N==1）返回p[1]
如果（N==2）返回倍数2poly（p[1]，p[2]）
否则{
返回multiply2Poly（multiplyPoly（p[1]，…p[N/2]），multiplyPoly（p[1+N/2]，…，p[N]）
}
函数getCoef（r[1]，…r[N]）
return multiplyPoly（（p[1]=x-r[1]），…（p[N]=x-r[N]）；

我曾想过类似的事情，但我搞砸了递归设置。如果我有四个根，r1，r2，r3，r4，算法基本上是将r1和r2，以及r3和r4的二项式相乘，然后两者的结果都正确吗？1.哪个域？（r，C，…）2.直接为R域编写多项式有什么错，例如：

root={x0，x1，x2，x3，x4}->polynom（x）=（x-x0）*（x-x1）*（x-x2）*（x-x3）*（x-x4）

，所以你只需要用代数方法将它相乘就可以得到系数…3.

N

是什么？根的数目？在这种情况下，乘法是O（N^2）…所以可能是FFT多项式乘法。。。