Algorithm 求两组坐标之间长度的最小平均值

假设我有两个坐标列表（两个列表上的计数相同），我们必须将集合A中的每个坐标分配给列表B中的一个坐标。选择此组合以获得最小平均长度的最佳方法是什么。 例如，在以下情况下：

一个明显的解决方案是将红色（1）指定给黑色（2），将红色（2）指定给黑色（3），将红色（3）指定给黑色（4），将红色（4）指定给黑色（1）。但这不是答案，因为这4种组合的平均长度高于将红色（1）分配给黑色（1），红色（2）分配给黑色（2），红色（3）分配给黑色（3），红色（4）分配给黑色（4）的解决方案

我的想法是循环通过两个集合的每个组合，测量每个组合的平均距离，最后选择最小平均值，但这并不一定是最佳的解决方案。 有没有更好的方法来实现这一点

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编辑：两组点可以完全随机分配，但有一点是点可以一个接一个地生成，例如，首先我们有一个黑色点和一个红色点，然后添加一个黑色点和一个红色点，依此类推

该算法类似于Gale-Shapley算法。当然，这个问题假设对于每个坐标，我们知道从该坐标到其他坐标的距离。假设提供了一个列表，并按照与相关坐标最接近的坐标排序

那么算法如下

当有一个坐标c未分配给任何其他坐标时：

    Choose that coordinate **c** 
    Let **a** be the closest coordinate to **c** that has not been assigned 
    If **a** has not been assigned then **a** and **c** are assigned to each other 
    Else **a** is already assigned **c'**
            if **a** is closer to **c'** than **c**, then **c** remains unassigned
            else if **a** is closer to c than c', then a and **c** are assigned to each other and **c'** becomes unassigned
            endif
    endif

返回指定对的集合

矛盾证明：始终匹配

• 我想不是。假设c是自由的，但已尝试分配给每个a
• 然后，必须已经分配了每个a（bc算法要求，一旦分配了a，它必须在算法的其余部分保留在某些分配中）
  • 如果所有n a都在赋值对中，那么赋值对中必须有n c
  • 两个列表的计数相同
  • 矛盾，c不可能是自由的

矛盾证明：检查作业是否为最小平均值

• 我想不是。假设平均值没有它可能的那么小
• （a1，c1）（a2，c2）a1和c2比它们当前的匹配项更接近
• 算法声明这些对可能是a1，必须尝试分配c1
• a1是否曾尝试分配给c2？
  • 如果不是，则c1比c2更接近a1
  • 如果是这样，则c2必须拒绝a1的分配，因为c2已分配给更接近的坐标
• 相反，坐标将始终与可用的最近坐标匹配

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时间复杂度：O（n^2）因为存在n x n个可能的对，在最坏的情况下，while循环将在n^2次迭代后终止

我必须坐下来，在明天醒来时思考这个问题，但正如第一个想法一样，我想到了一个稳定的婚姻解决方案。您首先分配1->1，并在出现“更好”的情况时更新配对。然而，我不能不经过几个例子就说，如果这在所有情况下都能给出最优的解决方案。另一个想法是，如果您可以修改好的旧最近对问题，同时保留O（nlgn^2）->一定量的记忆以使其适用于所有对。您的点是像示例中那样对齐的，还是在平面中随机分配的？一个想法（以避免笛卡尔积）可能是考虑平面图（其中边不是交叉的，因为我们可以“去”它们以获得较小的和）这两组点可以随机地被完全调度。但是有一点是，一个点可以一个接一个地产生，例如，首先我们有一个黑色和一个红色点，然后加上一个黑点和一个红点，依此类推。IDK如果我真的明白我的意思。看起来像是一个“稳定的婚姻”问题。（或相关：“稳定的室友”）