Algorithm 推广domino平铺算法？

在中，OP询问了以下问题：

给定一个矩形网格，其中一些正方形是空的，一些是填充的，那么可以放置到世界上的最大数量的2x1多米诺骨牌是多少，这样就不会有两个多米诺骨牌重叠，也不会有多米诺骨牌在填充的正方形上

这个问题的答案（相当漂亮！）承认这相当于在一个特殊构造的图中找到一个最大二部匹配。在该图中，每个空正方形都有一个节点，该节点通过一条边链接到其每个邻居。然后，每个domino对应于图中的一条边，这样它的端点就不会被任何其他边覆盖。因此，任何不共享顶点的边集（匹配）都对应于多米诺骨牌的排列，反之亦然

我的问题是对前一个问题的概括：

给定一个矩形网格，其中一些正方形是空的，一些是填充的，那么最大数量的M x N多米诺骨牌（对于给定的M和N）可以放置在世界上，这样就不会有两个多米诺骨牌重叠，也不会有多米诺骨牌在填充的正方形上

我看不出如何将其转换为与前一个案例相同的匹配问题。然而，我也不明白为什么这个问题会立即成为NP难问题，所以可能有一个多项式时间的解决方案

有解决这个问题的有效算法吗？或者有没有人能证明这个问题是NP难的

---

非常感谢

真是个好问题。这个问题相当于在一个特殊的图上找到最大独立集（或最大团大小）-顶点将是MxN矩形的所有可能位置，如果它们发生碰撞，边将连接两个位置。然后求出最大独立集的大小就得到了结果。反之亦然，我们可以将边定义为连接两个不碰撞的位置，然后我们将寻找最大团大小。无论如何，这两个图既不是无爪图也不是完美图，所以我们不能用多项式解来寻找最大独立集/团

---

因此，我们可以尝试将最大独立集问题转换为这个平铺问题，但我找不到一种方法如何将一般图转换为这个，因为你无法将例如诱导的K1,5子图转换为平铺。

1x3平铺很难从三次平面单调还原。我们必须建立一些“电路”来对公式进行编码

“大门”：

---

强制外部覆盖

X

和

Y

中的一个。用于链接变量及其否定

---

强制外部覆盖

X

和

Y

和

Z

中的任何一个或全部。用于复制

X

或销毁同一事物的三个副本。使用长度为3 L的金属片，金属丝或多或少可以任意成形

---

---

强制外部覆盖

X

和

Y

和

Z

中的一个。每个子句对应一个。

我要做的第一件事是设置第三个状态：“空，但不可访问”。您可以很容易地证明在l*w*m*n时间内无法到达每个磁贴（其中l是世界的长度，w是世界的宽度，m和n是磁贴的尺寸）。这将减少您的空间，以便可以访问任何空磁贴。请注意，您可能有可访问的磁贴孤岛。最简单的例子就是世界被一分为二。这有助于递归工作，其中每个可达性岛都被视为自身的世界

---

现在我们正在处理一个岛（可能是方形的，也可能不是方形的），你基本上有一个2D背包问题的特例，这个问题被称为NP难问题（在之前的工作中）。你的问题增加了问题的复杂性，因为你在背包中添加了固定的位置，而背包总是装满的，但通过使所有包裹大小相同，问题的复杂性（稍微）降低了。

这个问题肯定是NP难问题，我可以证明这一点。从3-SAT减少到这个问题。具体来说，它是从3-SAT减少到这个问题的子问题，其中多米诺骨牌是1x3。对于其他特定的尺寸，也可能会有其他的减少，但这一个肯定有效

本质上，在这个简化中，我们将使用domino位置来编码true或false。具体来说，我将采用与另一个解决方案相同的符号，也就是说，我将使用星号来表示网格上的开放空间。我还将使用一组三个大写字母来表示多米诺骨牌，并使用小写字母来表示“信号”，这些信号是根据系统的状态可以填充也可以不填充的空间

为了将一个3-SAT问题嵌入到这个空间中，我们需要一组我称之为小工具的东西，这些小工具只允许某些状态成为可能。这些小玩意中的大多数都有固定数量的多米诺骨牌。例外情况是那些表示子句的gadget，如果子句为true（已满足），则它们将有一个额外的domino，但如果子句为false（未满足），则不会。我们可以使用路径连接这些小工具。这将使我们能够建立一个3-SAT电路。我们将有一个基本的多米诺骨牌数量，因为每个路径和小工具都会有一个标准数量的多米诺骨牌，我们可以把这些加起来得到一个基本的数字k，然后每个子句小工具可以有一个额外的多米诺骨牌，如果它是真的，那么如果所有子句都可以变为真（因此表达式满足），并且有n个子句，那么多米诺骨牌的最大数量将是n+k。如果不是，则最大数量将小于n+k。这是还原的基本形式。接下来，我将描述这些小工具并给出示例

与另一个答案类似，我们将有两个位置，对给定变量编码true和false。因此，我将从一块瓷砖开始，它可以位于两个可能的位置

****

这可以是

Y***
   *
   *
  ooo  ****
  * *  *  *
  * *  *  *
  X ****  Z

*******************
*        *        *
*        *        *
X        Y        Z

****

AAA* or *AAA

x**y

x*****y

***y
*
*
x

 ***y
 *
**x

 BBB*     ABBB
 *        A   
AAA      *AX  

*x*y*
  *
  z

 * *
 * *
 * *
*****
  *
  ****

 A B
 C D
 C D
*C*D*
  *
  EEEF

 C B         A D         A B
 C D         C D         C D
 C D    or   C D    or   C D
GGGD*       *CGGG       *CGD*
  *           *           G
  EEEF        EEEF        GEEE

 C D
 C D
 C D
*****
  *
  *EEE

y*** ***z
   * *
   ***
   ***
    x

yAAA BBBz
   C D  
   CED 
   CED  
    E 

AAAC DBBB
   C D
   C*D
   EEE
    X

    *******
    *     *
    *     *
 ****   ***
 *       *
***      ****
  *         *
  *         *        
  * ******* *
  * *     * *
  * *     * *
 *z*x*   *****
   *       *
   **** ****
      * *
      ***
      ***
       *
       *
       *           
       y

    QRRRSSS
    Q     T
    Q     T
 OPPP   *UT
 O       U
*ON      UVVV
  N         W
  N         W        
  M IIIJJJK W
  M H     K X
  M H     K X
 *zGH*   LLLX*
   G       *
   GEEE FFF*
      B D
      BCD
      BCD
       C
       A
       A
       A

   ***c
   *
  ***
  * *
  * *
  * *
  ***
  ***
 ax*yb

 (tt) AAAc         (ft) AAAc         (tf) AAAc         (ff) BAAA     
      *                 *                 *                 B        
     BBB               BBB               BBB               CBD       
     C D               C D               C D               C D       
     C D               C D               C D               C D       
     C D               C D               C D               E G       
     EEE               EEE               EEE               EFG       
     FFF               FFF               FFF               EFG       
    aGGGb             aXGGG             GGGYb             aXFYb      

  ****
  *
 x*y

 BBB*     ABBB     ABBB     ABBB
 *        A        A        A   
AAA      XAy      xAY      XAY  

             ******* ****
             *     * *  *
             *     ***  *
            ***    *** ***
              *     *  *
           ****     *  ****
           *        *     *
           *     ****     *
          ***    *       ***
            *   ***      *
         ****   * *      ****
    y    *      * *         *    x
    *    *      * *         *    *
    * ****      ***         **** *
    ***         ***            ***
      **********x*y*************

y*** ***z   AAAC DBBB
   * *         C D
   ***         C*D
   ***         EEE
   *x*         FFF

y*** ***z
   * *
   ***
   ***
   *x*