Algorithm 大O n^（lg3）代换证明中的Karatsuba算法

Karatsuba算法涉及递归关系

T（n）=3T（n/2）+n

通过递归树方法，我们可以将

T

的大O近似为

O（nlog23）

然而，通过替换方法，我很难验证通过递归树方法找到的近似结果

我将简单地使用

lg3

来表示

log23

替代方法：

Hypothesis -> T(n) <= cnlg 3 where c is a positive constant
Proof -> T(n) <= 3c(n/2)lg 3 + n
                  =  cnlg 3 + n

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假设->T（n）T（n）当使用替代方法时，有时必须强化归纳假设，并猜测一种更复杂的表达式形式，该表达式限制了重复性

试着猜测一下T（n）的形式≤ c0 nlg 3-c1n。现在，您正在减去形式为c1n的某个项，您可能可以通过使用一些线性项来抵消后面添加的n项来计算递归

例如：

T（n）≤ 3T（n/2）+n

≤ 3（c0（n/2）lg 3-c1（n/2））+n

=3（c0（n/2）lg 3）-3c1n/2+n

现在，选择c1，使-3c1n/2+n=-c1n。这解决了

-3c1n/2+n=-c1n

-3c1/2+1=-c1

-3c1+2=-2c1

2=c1

选择c1将使您成功地取消+n项，从而使导入成功工作

希望这有帮助

T(n) <= cnlg 3 + nlg 3
      = (c+1)nlg 3