Algorithm 子图上的MST递归构造

MST表示：最小生成树

给定一个图g=（V，E）。将顶点任意划分为两个不相交集V1和V2。 设E1为V1中两个顶点的所有边 设E2为V2中两个顶点的所有边 设E3为所有边，V1中有一个事件，V2中有一个事件

现在在子图（V1，E1）上构造一个MST M1，在子图（V2，E2）上构造一个MST M2。然后在E3中添加连接M1和M2的最低权重边。这是在原始图g上构造MST的结果吗？

我的答案是否定的

考虑图G:{顶点：{A，B，C，D}边：{AB=1，BD=10，DC=3，AC=2}}。当它被划分为V1={A，C}V2={B，D}E1={AC}E2={BD}E3={AB，CD}时，根据描述，MST是{AC，AB，BD}，而真正的MST是{AB，AC，CD}

回想一下Kruskal算法：边是按权重按升序排序的，这些边不会形成一个循环，MST中已经存在的边将逐个添加。MST是树，因此将选择| E |-1条边（假设MST中没有孤立顶点）。如果| E1 |<| V1 |-1或| E2 | 1，那么当Kruskal算法在整个图G上实现时，E3中的多条边将被添加到MST。如果MST是从M1 M2和E3中的最小边构造的，它可能会丢失一些边

此外，如果我们在整个图G上实现Kruskal算法，则可能会添加多条E3中较小的边（我们称之为E3'）。如果我们在V1 E1和V2 E2上分别实现Kruskal算法，则大于E3'中的边将添加到M1，M2中。并且只会添加E3（E3'）中的最小边。因此，第二个MST的总重量大于第一个MST，它不是真正的MST

是否有单独建立MST的情况，与在整个图表上建立MST的情况相同

当E3只有一条边时：

当Kruskal算法在整个图G上实现时，此边将添加到MST，因为它不与任何边形成循环。它不会影响任何其他边上的决策

当M1、M2都是连通树时，它们没有隔离 顶点和E3中至少| E3 |-1条边是中的最大边 E

当Kruskal算法在整个图上实现时，E3中的最小边将添加到MST中。它不影响在其之后添加的E1或E2中的任何其他边上的判定。因为它不会与E1或E2中的任何边形成循环。E3中的其他边不会被添加，因为它们是Kruskal算法中要考虑的最后一条边，它们将与MST中已经存在的边形成一个循环