Algorithm 寻找共素子阵的有效方法

给定一个数组，是否有可能在优于O（N²）的时间内找到该数组的共素数子数组数？共素数数组被定义为数组的连续子集，因此所有元素的GCD都是1。

考虑在数组的末尾添加一个元素。现在找到最右边的位置（如果有的话），这样从该位置到刚才添加的元素的子数组就是共素数。因为它是最右边的，所以以添加元素结尾的更短数组都不是共素数。因为它是协素数，所以每个从左边开始并以新元素结尾的数组都是协素数。因此，您已经计算出以新元素结尾的共素数子数组的数量。如果您可以高效地找到最右边的位置（比如在O（logn）而不是O（n）中），那么您可以通过一次将数组扩展一个元素来计算O（nlogn）中的共素数子数组的数量

为了能够找到最右边的位置，可以将整个数组看作是一个完整的二叉树的叶子，将其填充为a长度的二次方。在每个节点上，将所有元素的GCD放在该节点下-您可以在时间O（n）中从下到上执行此操作。数组中的每个连续间隔都可以由大小为O（logn）的节点集合覆盖，这样间隔由节点下的叶子组成，因此可以计算间隔的GCD为时间O（logn）

要找到与当前元素形成共质数子阵列的最右侧位置，请从当前元素开始，检查它是否为1。如果是，你就完了。如果没有，请查看元素的左侧，使用该元素获取GCD，并将结果推送到堆栈上。如果结果为1，则完成，如果不是，则执行相同的操作，但查看是否存在包含2个元素的子树，您可以使用它一次添加2个元素。在接下来的每个步骤中，您都会将要查找的子树的大小增加一倍。你不会总是找到一个你想要的大小的方便的子树，但是因为每个间隔都可以被O（logn）子树覆盖，你应该足够幸运地在时间O（logn）中完成这一步

现在您已经发现当前元素的整个数组不是共素数，或者您已经找到了一个共素数的部分，但是可能会比它需要的更远。堆栈顶部的值是通过获取堆栈上位于其正下方的值的GCD和子树顶部的GCD来计算的。将其从堆栈中弹出，并获取其正下方的值和子树右半部分的GCD。如果你仍然是协素数，那么你不需要子树的左半部分。如果不是，那么你需要它，但也许不是全部。在任何一种情况下，您都可以继续向下查找时间O（log n）中最右边的匹配项

所以我认为你可以找到最右边的位置，在时间O（logn）中与当前元素形成一个共素子数组（无可否认，通过一些非常精细的编程），这样你就可以计算时间O（logn）中的互质子数组的数量

两个例子：

清单1、3、5、7。下一级是1，1，根是1。如果当前元素是13，那么我检查7，发现gcd（7，13）=1。因此，我立即知道GCD（5,7,13）=GCD（3,5,7,13）=GCD（1,3,4,7,13）=1

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清单2、4、8、16。下一级是2，8，根是2。如果当前的数字是32，那么我检查16，发现gcd（16，32）=16！=然后我检查8，发现GCD（8，32）=8，然后我检查2，发现GCD（2，32）=2，因此在GCD=1的扩展数组中没有间隔。

我假设在这种情况下，查找两个数字的GCD被视为常数时间。@biziclop…是的，请给出一个示例，说明在给定一个完全互质的列表的情况下，树如何帮助避免将添加的元素与之前的所有元素进行比较？我不明白这怎么可能。我已经添加了一些例子。我认为有可能我们对互质列表的定义不一致。我认为这意味着将列表中所有元素分开的最大数字是1。谢谢！但是对不起，我还是不明白。如果你知道[a，b]是互质的，你怎么知道[a，b，c]是互质的，而没有找到（c，b）的GCD和（c，a）的GCD？如果你说一个互质数组是一个最大数除以数组中所有元素的数是1的数组，那么向数组中添加任何数字都可以保持这个性质。根据这个定义{6,10,15}是互质数组，因为gcd（gcd（6,10,15）=gcd（2,15）=1。因此，{6，10，15，900}也是如此，因为虽然15除以900，但没有比1大的数能除以6，10，15和900。哦，你说得对，我误解了这个定义。谢谢