Algorithm 有序背包问题的正确性/证明

小偷可以选择要偷的

n

物品，但只有一个背包，容量为 取

M

重量。每个物体都有重量

w_i

，利润

p_i

。假设他也知道以下几点： 按增加重量排序时，这些项目的顺序与排序时的顺序相同 通过减小值。给出了一个贪心算法来寻找这个变量的最优解 背包问题。证明其正确性和运行时间

因此，我提出的贪婪算法是根据增加的权重（也就是减少的值）对项目进行排序。这意味着每重量的价格是递减的。因此小偷可以拿走价值最高的物品，直到重量

=M

。运行时间将是

O（n log n）

，因为排序需要

O（n log n）

，遍历列表需要

O（n）

。我一直坚持的那部分就是正确性的证明。以下是我迄今为止的证据：

假设存在这样一个实例，即上述解决方案（称为GA）不是最优的。将最优解称为OS，OS获取的项目按递增值排序。由于操作系统比遗传算法更为优化，因此遗传算法获得的利润小于或等于操作系统获得的利润。由于GA获取利润/重量比最高的项目，因此第一个元素

i

，必须大于或等于OS的第一个元素。由于操作系统更为优化，因此必须存在一个大于或等于遗传算法集合中某个项目j的

i

。但由于遗传算法和操作系统在同一集合中完成，且遗传算法总是获取利润/权重最高的项目，因此操作系统中不可能存在大于遗传算法中某个

i

---

有人能帮忙证明吗？谢谢

您的解决方案是有效的，关于运行时间的推理是正确的。在续集中，假设输入是“去平凡化”的，即每个发生的obejct实际上都适合于背包，并且不可能选择整个输入

排序生成的项目的排序是

• 贬值
• 增重

这使它成为一个特殊的情况。关于正确性证明的论证如下。让

i'

表示中断索引，它是排序序列中被贪婪算法拒绝的第一项的索引。为清晰起见，请将相应的对象称为断开对象。注意

w_j > w_i' for each j > i'

保持，这意味着贪婪算法也会拒绝每一个继破碎对象之后的对象（因为它不适合背包，就像破碎对象一样）

总的来说，贪婪算法选择排序序列的前缀；我们的目的是显示任何最佳的解决方案（我们认为固定在续集中）是相同的前缀。 请注意，最佳解决方案，因为它是最佳的，不会为其他对象留下空间

针对一个矛盾，设

k

为贪婪解中的最小指标，而不是最优解中的最小指标。由于不可能将对象

k

另外选择到最优解中，因此（通过

k

的最小值）最优解中必须有一些带有索引的项

k' > k

它允许在最佳解决方案中交换项目。作为

w_k < w_k' and p_k > p_k'

w_kp_k'

在最优解中，object

k'

可以替换为object

k

，这会产生一个利润大于最优解利润的解，这与其最优性是矛盾的

因此，贪婪解中不存在最优解中缺少的项，这意味着贪婪解是最优解的子集。另一方面，贪婪解相对于包含是最大的，这意味着最优解不能包含贪婪解中缺少的项

注意贪婪算法als对于一般背包问题是有用的；在贪婪解和利润最大的项目中取较好的一个，得到比率为2的近似算法