Algorithm Eratosthenes算法筛的时间复杂度

从

算法的复杂度是

O（n（logn）（loglogn））

位操作

你是如何做到这一点的？

复杂性包括

loglogn

术语，这告诉我在某个地方有一个

sqrt（n）

---

假设我在前100个数字上运行筛选（

n=100

），假设将数字标记为复合数字需要恒定的时间（数组实现），我们使用

mark\u composite（）

的次数如下

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ... + n/97        =      O(n^2)                         

为了找到下一个素数（例如，在划掉所有是

5

倍数的数之后跳到

7

），操作的次数将是

O（n）

因此，复杂性将是

O（n^3）

你同意吗？

你的n/2+n/3+n/5+…n/97不是O（n），因为项数不是常数。[编辑后编辑：O（n2）的上限太过宽松。]宽松的上限是n（1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+…1/n）（所有数字的倒数之和，最多n），即O（n log n）：请参阅。一个更合适的上界是n（1/2+1/3+1/5+1/7+…），即素数的倒数之和到n，即O（n log n）。（见或。）

“查找下一个素数”位整体上仅为O（n）-您将在总计中向前移动仅查找下一个数n次，而不是每一步。所以整个算法只需要O（n）

使用这两个函数，可以得到O（n logn）+O（n）=O（n logn）算术运算的上界。如果你计算位运算，因为你处理的是n以下的数字，它们大约有logn位，这就是logn的因子，给出O（n logn logn logn）位运算

复杂性包括logn项，这告诉我某处有一个sqrt（n）

请记住，当你在筛选时发现一个素数

p

，你不会在你当前的位置开始划掉这个数+

p

；实际上，您开始在

P^2

处划掉数字。小于

P^2

的

P

的所有倍数将被先前的素数划掉

内部循环执行

n/i

步骤，其中

i

是prime=>整个循环 复杂性是

sum（n/i）=n*sum（1/i）

。根据本原谐波 序列中，

sum（1/i）

其中

i

为素数的是

log（logn）

。在里面 总计，

O（n*log（log n））

我认为可以通过将

n

替换为

sqrt（n）

来优化上层循环，因此总体时间复杂度将

O（sqrt（n）loglog（n））

：

void isPrime（int n）{
整数素数[n]，i，j，count1=0；
对于（i=0；i对于（i=2；i参见上面的解释，内环是所有素数到sqrt（n）的调和和。因此，的实际复杂度是O（sqrt（n）*log（log（sqrt（n）））
int n=100；
int[]arr=新int[n+1]；
对于（int i=2；i Tk=n/sqrt（k）

当k=sqrt（n）=>n[1/sqrt（2）+1/sqrt（3）+……]=n*log（log（n））=>O（nloglogn）
我不知道其余的（对于我现在太困的大脑来说太数学了），循环停止，但平方根源于这样一个事实：如果一个数字的除数小于其平方根，那么它就是素数。而且，我刚刚了解到loglog（n）意思是有一个平方根。很好。loglog（n）在那里怎么意味着某处有一个sqrt（n）？（@Martinho:你为什么说你“刚刚学会了这个”？）实际分析不涉及任何平方根！该语句本身是正确的，但与引用的语句无关，该语句本身没有任何价值。无论我们从
p
还是
p^2
开始，复杂性都是相同的（使用直接访问数组）。
SUM（1/p）{p问题的一部分，你考虑的是渐近复杂性。另一部分，你考虑的是摊销复杂性。我很困惑。@crisron问题是什么？不是“渐近复杂性”和“摊销复杂性”是同一事物的两种不同类型。摊销只是一种更仔细地计算某物的技术，它可能恰好是渐近复杂性。所有这些我都认为它们是不同的。谢谢你的澄清。@ShreevatsaR为什么我们要计算谐波级数之和达n项。我们不应该只计算达n项吗sqrt（n）项？以n（logsqrt（n））算术运算的θ给出答案？此外，维基百科说空间复杂度是O（n）。那不应该是n的θ吗，因为我们在任何情况下都需要n个元素的数组？@s_123是的，你可以计算到√n项，但它不会在渐近分析中产生差异（甚至在运行时间上也不会产生显著的实际差异），因为(√x） =（1/2）对于任何x.SoΘ（n log log√n） =Θ（n log n）。对于你的另一个问题，是的，空间复杂度是Θ（n），也就是O（n）：通常使用O（）来表示你指定的是上界，而不是说Θ（）来表示它也是下界（特别是当下界很明显时，这里就是这样）.错。我们一直标记到N:N/2+N/3+N/5+N/7+N/11+…=N（1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…）~N log log（sqrt N）~N log log N.no，用sqrt（N）替换N会使其~N log log（sqrt N）仍然是~N log log N.，
isprime
绝对是错误的名称。
int n = 100;
int[] arr = new int[n+1];  
for(int i=2;i<Math.sqrt(n)+1;i++) {
  if(arr[i] == 0) {
    int maxJ = (n/i) + 1;
    for(int j=2;j<maxJ;j++)
    {
      arr[i*j]= 1;
    }
  }
}
for(int i=2;i<=n;i++) {
  if(arr[i]==0) {
    System.out.println(i);
  }
}