Algorithm 检查上下文无关语法是否生成DFA拒绝的无限语言的算法

我有一个DFA和一个CFG，然后我必须检查G是否生成了a不接受（被a拒绝）的无限单词，以及一个很好的复杂度时间

我想用CFG构造一个图，若它包含一个有向循环，那个么就会产生一个无限语言。顶点是变量，我为每个产品绘制一些边。输入都是被DFA拒绝的单词，当我发现一个循环时，我可以说CFG生成了被DFA拒绝的无限语言

我不知道如何在算法中转换它，或者如果我的建议不正确，我必须创建一个新的

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编辑：我可以将我的cfg转换成CNF，然后再转换成DFA（使用乔姆斯基）。之后，我尝试找到一个循环。但是我的变换dfa可以比我的dfa有更少的状态。。。我想我需要如何在我的cfg中得到DFA拒绝的单词。

给定cfg，构造PDA B。给定DFA和PDA B，构造PDA C，使C接受L（C）=L（B）\L（A），其中\设置为差。现在，L（C）正是PDA B（因此由CFG G生成）接受但DFA不接受（即拒绝）的单词语言

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现在的问题是B的语言是否是无限的。我们可以做到。一种方法是将PDA转换回CFG，然后将CFG放在CNF中-删除不必要和无效的符号。然后，在非终端符号之间创建依赖关系树。如果任何剩余的（有效的）非终结符符号依赖于自身，即存在循环，则语言是无限的。否则，语言是有限的（如果没有生产符号，则为空）。

最后一个问题。该算法的复杂度时间更小于O（n^2），对吗？@JackFenn问得好；我需要在每个步骤上做一些挖掘，看看整体的复杂性是什么。O（n^2）至少应该是最坏情况下的下限，因为如果原始DFA和PDA具有相同数量的状态，则差异语言的PDA具有如此多的状态。