Algorithm 很难找到嵌套for循环的θ表示法中的运行时间

我有一个三重嵌套for循环，需要用θ表示运行时间（复杂性）

我最终得到了θ（n^3），但不能100%确定我的推理是否正确

func(n)
x = 0 
for i = 1 to n do
   for  j = 1 to i do
      for k = j to i + j do
          x <- x + 1
return x

func（n）
x=0
对于i=1到n do
对于j=1，我需要
对于k=j到i+j do
让我们看看。假设n非常大（否则复杂性将不是问题）。你的外环有n个台阶。中间循环大约有n/2个步骤

为了理解内部循环，让我们考虑一下它的边界。终点是i+j，起点是j，所以元素的数量是i+j-j+1，也就是i+1。如果i=1，这可能非常小，如果i实际上是无限的（n），这可能非常大

无穷大有一个特性

无穷大/2=无穷大

所以，如果我们假设n的值为无穷大，那么即使n/2也不是有限的。所以，你的结果是正确的，我们有θ（n^3），当然，我们并不真正关心加一些常量值或用有限的严格正数乘以n。
让我们看看。假设n非常大（否则复杂性将不是问题）。你的外环有n个台阶。中间循环大约有n/2个步骤

为了理解内部循环，让我们考虑一下它的边界。终点是i+j，起点是j，所以元素的数量是i+j-j+1，也就是i+1。如果i=1，这可能非常小，如果i实际上是无限的（n），这可能非常大

无穷大有一个特性

无穷大/2=无穷大

所以，如果我们假设n的值为无穷大，那么即使n/2也不是有限的。所以，你的结果是正确的，我们有θ（n^3），当然，我们并不真正关心加一些常量或用一个有限的严格正数乘以n。
你可以从内到外一步一步地解决这个问题：

func(n)
x = 0 
for i = 1 to n do
   for  j = 1 to i do
      for k = j to i + j do
          x <- x + 1
return x

下一个循环运行
（i+j）-j+1=i+1
次：

func(n)
x = 0 
for i = 1 to n do
   for  j = 1 to i do
      Theta(i)
return x

通过这种方式，我们得到：

func(n)
    x = 0 
    for i = 1 to n do
       Theta(i^2)
    return x

最后，使用从1到
n
的平方和是
n（n+1）（2n+1）/6=n^3/3+n^2/2+n/6=Theta（n^3）
：

由于所有剩余语句都以恒定时间运行，因此总体复杂性为θ（n^3）

您可以从内部循环到最外部循环逐步解决此问题：

func(n)
x = 0 
for i = 1 to n do
   for  j = 1 to i do
      for k = j to i + j do
          x <- x + 1
return x

下一个循环运行

（i+j）-j+1=i+1

次：

func(n)
x = 0 
for i = 1 to n do
   for  j = 1 to i do
      Theta(i)
return x

通过这种方式，我们得到：

func(n)
    x = 0 
    for i = 1 to n do
       Theta(i^2)
    return x

最后，使用从1到

n

的平方和是

n（n+1）（2n+1）/6=n^3/3+n^2/2+n/6=Theta（n^3）

：

---

由于所有剩余的语句都在固定时间内运行，因此总体复杂性是θ（n^3）

，证明不起作用。尝试使用

Theta（log（n））

或

Theta（2^n）

。你所能证明的就是算法是

o（1）

@Paul我不知道你想说什么。这两个陈述“所以，如果我们假设无穷大为n的值，即使n/2也不是有限的。所以，你的结果是正确的，我们有θ（n^3），当然，…”没有任何关联。如果你想处理无穷大，你必须实际比较如下函数：

lim n->inf n^3/g（n）

，其中

g（n）

描述了算法根据

n

所采取的步骤数，并证明它收敛到一个不同于0的值。@Paul我们用常数除以n。无穷大/2=无穷大。而证据也不“起作用”，因为它不是机器或工程产品。证明是一种理论上的产物。随你怎么说。无论哪种方式，这都不是任何形式的理论产物，因为它完全忽略了基本的逻辑规则。从数学角度来看，说“无穷大/2”已经是错误的，因为无穷大并不是任何代数对象的成员。但即使忽略这一点，你的证明也有很多缺点：你不能从

lim n->inf n=inf

这一事实中得出很多结论，“大约有n/2个步骤”是你无法基于实际证明的，你不能将这两个事实结合起来推导出关于两个内部循环的任何东西，等等，证明不起作用。尝试使用

Theta（log（n））

或

Theta（2^n）

。你所能证明的就是算法是

o（1）

@Paul我不知道你想说什么。这两个陈述“所以，如果我们假设无穷大为n的值，即使n/2也不是有限的。所以，你的结果是正确的，我们有θ（n^3），当然，…”没有任何关联。如果你想处理无穷大，你必须实际比较如下函数：

lim n->inf n^3/g（n）

，其中

g（n）

描述了算法根据

n

所采取的步骤数，并证明它收敛到一个不同于0的值。@Paul我们用常数除以n。无穷大/2=无穷大。而证据也不“起作用”，因为它不是机器或工程产品。证明是一种理论上的产物。随你怎么说。无论哪种方式，这都不是任何形式的理论产物，因为它完全忽略了基本的逻辑规则。从数学角度来看，说“无穷大/2”已经是错误的，因为无穷大并不是任何代数对象的成员。但是即使忽略这一点，你的证明也有很多缺点：你不能从以下事实得出很多结论：

lim n->inf n=inf

，“大约有n/2个步骤”是你无法基于实际证明的，你不能将这两个事实结合起来推导出关于两个内部循环的任何东西，等等，这段代码的复杂性也是O（n^3），欧米茄呢@Paul@ManojBanik如果一个代码同时是

O（n^3）

和

Omega（n^3）

它会自动

Theta（n^3）

，反之亦然。这是θ时间复杂度的标准定义。基本上，为了方便起见，上面的证明只是将上界和下界的证明统一到一行参数中