Algorithm 用N个硬币求和K

给定N种A[1]面额的硬币，A[2]…A[N]，其中每个A[i]都是唯一的，并且它们是每种面额的无限硬币。而且它们最多可以是15种硬币，这意味着N让

C[K]

成为总

K

的方法数。我们有一个线性齐次递推

C[K] | K <  0 = 0
     | K == 0 = 1
     | K >  0 = sum from j=1 to N of C[K - A[j]].

例如，对于

A=[1,3,4]

，该矩阵

L

为

[1 0 1 1]
[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0].

第一行的

A[j]

列为

j=1

到

N

（或者，如果存在具有相同价值的可分辨硬币，则数字更高）。其他行在主对角线的正下方有一行

[1 0 1 1] [C[3]] = [C[3]        + C[1] + C[0]] = [C[4]]
[1 0 0 0] [C[2]]   [C[3]                     ]   [C[3]]
[0 1 0 0] [C[1]]   [       C[2]              ]   [C[2]]
[0 0 1 0] [C[0]]   [              C[1]       ]   [C[1]]

---

要在序列中快速向前跳到

K

，请使用计算

L^K

，然后乘以初始条件向量

[C[0]…C[-M+1]'=[1 0…0]'

，并返回第一个条目（即矩阵幂的左上条目）。

假设

K

为

10^18

和

A=[1,2]

。仅计算类型为

[1,1，…2]，[1,1，…2,1]

的答案，您将得到

10^18-1

这样的数组，您必须返回。因此，我的结论是，根据您提出的约束条件，由于时间和空间的复杂性，这个问题是计算机无法解决的。

对于这样的问题，请您解释一个测试用例。我不明白。您是如何制作矩阵的？这个初始条件向量是什么？对于a=[1，3，4]，这个矩阵L是[1 0 1][1 0 0 0 0][0 1 0 0][0 0 1 0]？你能解释一下你的复发吗？@user3840069稍微扩展了我的答案。为什么[C[3]=[C[3]+C[1]+C[0]=[C[4]]？我是说你在为[1,3,4]做什么？

[1 0 1 1] [C[3]] = [C[3]        + C[1] + C[0]] = [C[4]]
[1 0 0 0] [C[2]]   [C[3]                     ]   [C[3]]
[0 1 0 0] [C[1]]   [       C[2]              ]   [C[2]]
[0 0 1 0] [C[0]]   [              C[1]       ]   [C[1]]