Algorithm 我们能改变迪克斯特拉吗；使用负权重的s算法？

取自维基百科的伪代码：

function Dijkstra(Graph, source):
 2      for each vertex v in Graph:                                // Initializations
 3          dist[v] := infinity ;                                  // Unknown distance function from source to v
 4          previous[v] := undefined ;                             // Previous node in optimal path from source
 5      end for ;
 6      dist[source] := 0 ;                                        // Distance from source to source
 7      Q := the set of all nodes in Graph ;                       // All nodes in the graph are unoptimized - thus are in Q
 8      while Q is not empty:                                      // The main loop
 9          u := vertex in Q with smallest distance in dist[] ;    // Start node in first case
10          if dist[u] = infinity:
11              break ;                                            // all remaining vertices are inaccessible from source
12          end if ;
13          remove u from Q ;
14          for each neighbor v of u:                              // where v has not yet been removed from Q.
15              alt := dist[u] + dist_between(u, v) ;
16              if alt < dist[v]:                                  // Relax (u,v,a)
17                  dist[v] := alt ;
18                  previous[v] := u ;
19                  decrease-key v in Q;                           // Reorder v in the Queue
20              end if ;
21          end for ;
22      end while ;
23      return dist[] ;
24  end Dijkstra.

函数Dijkstra（图，源）：
图中的每个顶点v有2个：//初始化
3距离[v]：=无穷大；//源到v的未知距离函数
4以前的[v]：=未定义；//来自源的最佳路径中的前一个节点
5.结束通话；
6距离[来源]：=0；//源到源的距离
7 Q:=图中所有节点的集合；//图中的所有节点都是未优化的-因此在Q中
8而Q不是空的：//主循环
9 u:=Q中距离最小的顶点[]；//在第一种情况下启动节点
10如果距离[u]=无穷大：
11休息；//所有剩余顶点都无法从源访问
12如果结束，则结束；
13从Q中去除u；
14对于u://的每个相邻v，其中v尚未从Q中移除。
15 alt:=距离[u]+距离（u，v）之间的距离；
16如果alt

现在，在第14行中，我们看到松弛仅应用于

u

的邻居，这些邻居尚未从

Q

中删除。但是，如果我们也考虑从

Q

中删除的

u

的邻居，那么在我看来，算法确实在负权重下工作。我没有发现任何与这一说法相矛盾的实例

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那么为什么Dijkstra的算法没有这样改变呢？

不，正如前面所说的不可能。该算法对于负权重没有意义，除非严格限制提供的图类型

假设一个图的节点a、B、C和边的权重AB=-1、BA=0、BC=1

现在，a和C之间不再存在最短路径，您可以通过在a和B之间来回一次来创建一条较短的路径

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当然，该算法仍将运行，但会给出错误的答案。

只要确保不遍历任何节点或边两次，就可以确保Dijkstra的算法在负值下运行。这里所说的工作，我指的是终止。然而，结果可能不是最优的

Dijkstra的算法有一种贪婪的感觉。想象下图：

A --- 1 --- B
|           |
3          -4
|           |
C -- -1 --- D

如果我们想从A到B，最好的路径是A-C-D-B，但是Dijkstra的算法找到了A-B。你不能让Dijkstra的算法预测未来，因为它是一个贪婪的算法。通过预测未来，我的意思是知道以后，路径的成本可能会降低。请注意，这意味着您的修改如果应用于Dijkstra算法的一个版本，并且该版本在看到目的地后立即终止，则将无法正常工作。在您发布的版本中，除了有更有效的方法来处理负面边缘外，您的修改是有效的（请参见注释）

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顺便说一句，带负值的无向图或带负循环的有向图中的最短路径根本没有意义

Dijkstra可以访问每个节点一次，因为当它选择一个新节点进行访问时，他会选择从根节点开始具有最短路径的未访问节点。因此，他可以安全地假设，通过另一个未访问的节点到该节点没有更短的路径（因为如果您知道的从a到B的最佳路径成本为2，从a到C的最佳路径成本为3，则没有机会找到从a到B的更好路径，例如a>C>B）

如果你加上负权重，你会突然打破这个假设

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当然，您可以使用建议的修改，但这样您将失去只访问每个节点一次的好处；因此，与福特贝尔曼（Ford Bellman）等其他算法相比，它将失去其性能增益。您基本上有两种选择

您可以根据自己的建议更改算法。若你们有并没有负循环的有向图，那个么这是一个正确的算法，但它可能非常慢（因为你们会多次访问每个节点）。我认为当这个算法具有指数时间复杂度时，就存在这种情况

你可以通过使用效价来改变成本。每个顶点都有一些势h（v），边u->v的权重为w（u，v）+h（u）-h（v）。请注意，这并不影响给定两个顶点（s，t）之间的哪条路径是最短的，只是其代价由h（s）-h（t）改变。 但你需要计算效价。这里建议这样做的好方法：

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好吧，仅仅放松修改后的Dijkstra版本中已经访问过的节点是不够的（在包含负边的图中，这会给你一个错误的答案）。此外，您需要将任何松弛的边放入容器中（例如，优先级队列或仅队列）。因此，您可以将第19行中的代码修改为：

if v is in priority queue
    then decrease-key(v)
else
    add v into priority queue

在这种情况下，您的算法可以工作。此外，对于正加权图，Dijkstra改进版的效率不会降低。这很容易被证明，因为这自然是一个贪婪的算法

然而，对于含有负边的图，新算法在理论分析方面可能会变得缓慢，但在实际应用中效果良好

实际上，你可以看看段定凡（1994）在中国发表的一个名为SPFA（最短路径更快算法）的算法。很多OIer（奥林匹克信息）都知道这个算法，因为它有时可能会打败Dijkstra

是的，你的