Algorithm 乘法算法的循环不变证明

在我的家庭作业中，我目前被困在循环不变证明上。我需要证明正确性的算法是：

Multiply(a,b)
    x=a
    y=0
    WHILE x>=b DO
        x=x-b
        y=y+1
    IF x=0 THEN
        RETURN(y)
    ELSE
        RETURN(-1)

我试着看了几个循环不变量的例子，我对它应该如何工作有了一些想法。然而在上面的算法中，我有两个退出条件，我对如何在循环不变证明中实现这一点有点迷茫。特别是在IF和ELSE语句周围，我正在努力解决的终止部分

到目前为止，我构造的只是通过查看算法的终止，在这种情况下，如果

x=0

，那么它返回

y

的值，其中包含

n

（while循环中的迭代次数），其中好像

x

不是

0

，然后它返回

-1

。我只是觉得我需要证明这一点

我希望有人能为我提供一些帮助，因为我在这里发现的类似案例还不够

---

提前感谢您的时间。

如果算法终止（为此，我们假设

a>0

和

b>0

，这就足够了），一个不变量是，在

的每次迭代中，当
循环时，您都有
x+by=a

证明：


首先，
x=a
和
y=0
，这样就可以了
如果
x+by=a
，则
（x-b）+（y+1）b=a
，这是下一次迭代的
x
和
y
的值

说明：

    Multiply(a,b)
        x=a
        y=0
        // x + by = a, is true
        WHILE x>=b DO
            // x + by = a, is true
            x=x-b // X = x - b
            y=y+1 // Y = y + 1
            // x + by = a
            // x - b + by + b = a
            // (x-b) + (y+1)b = a
            // X + bY = a, is still true
        // x + by = a, will remain true when you exit the loop
        // since we exited the loop, x < b
        IF x=0 THEN
            // 0 + by = a, and 0 < b
            // y = a/b
            RETURN(y)
        ELSE
            RETURN(-1)

乘法（a，b）
x=a
y=0
//x+by=a是真的
当x>=b时
//x+by=a是真的
x=x-b//x=x-b
y=y+1//y=y+1
//x+by=a
//x-b+b+b=a
//（x-b）+（y+1）b=a
//X+bY=a仍然是真的
//退出循环时，x+by=a将保持为真
//因为我们退出了循环，x

当
b
除以
a
时，此算法返回
a/b
，否则返回
-1
Multiply
听起来不是一个合适的名称…
假设算法终止（为此，我们假设
a>0
和
b>0
，这就足够了），一个不变量是，在
循环的
每次迭代时，都有
x+by=a

证明：


首先，
x=a
和
y=0
，这样就可以了
如果
x+by=a
，则
（x-b）+（y+1）b=a
，这是下一次迭代的
x
和
y
的值

说明：

    Multiply(a,b)
        x=a
        y=0
        // x + by = a, is true
        WHILE x>=b DO
            // x + by = a, is true
            x=x-b // X = x - b
            y=y+1 // Y = y + 1
            // x + by = a
            // x - b + by + b = a
            // (x-b) + (y+1)b = a
            // X + bY = a, is still true
        // x + by = a, will remain true when you exit the loop
        // since we exited the loop, x < b
        IF x=0 THEN
            // 0 + by = a, and 0 < b
            // y = a/b
            RETURN(y)
        ELSE
            RETURN(-1)

乘法（a，b）
x=a
y=0
//x+by=a是真的
当x>=b时
//x+by=a是真的
x=x-b//x=x-b
y=y+1//y=y+1
//x+by=a
//x-b+b+b=a
//（x-b）+（y+1）b=a
//X+bY=a仍然是真的
//退出循环时，x+by=a将保持为真
//因为我们退出了循环，x

当
b
除以
a
时，此算法返回
a/b
，否则返回
-1
Multiply
听起来不太适合它的名字…
如果没有函数应该做什么的具体说明，我们就无法证明正确性，我在你的问题中找不到。甚至函数名也没有帮助：如前所述，当
b
除以
a
时，函数大部分时间返回a/b，否则返回
-1
。乘法是一个不合适的名称

此外，如果
b=0
和
a>=b
则“算法”不会终止，因此它甚至不是算法

正如Alex M所指出的，循环的循环不变量是
x+by=a
。在循环退出时，我们还有
x
。
x
没有其他保证，因为（大概）
a
可能是负数。如果我们保证
a
和
b
是正的，那么我们可以保证
0如果没有函数应该做什么的具体说明，我们就无法证明正确性，这是我在你的问题中找不到的。甚至函数名也没有帮助：如前所述，当
b
除以
a
时，函数大部分时间返回a/b，否则返回
-1
。乘法是一个不合适的名称

此外，如果
b=0
和
a>=b
则“算法”不会终止，因此它甚至不是算法

正如Alex M所指出的，循环的循环不变量是
x+by=a
。在循环退出时，我们还有
x
。
x
没有其他保证，因为（大概）
a
可能是负数。如果我们保证
a
和
b
为正，那么我们可以保证
0为什么函数在除法时被称为
Multiply
呢？为什么函数在除法时被称为
Multiply
呢？是的，这看起来很公平，但这是不变量的合法证明吗？最让我沮丧的是，我很难看到我需要解决手头的问题。如果我需要以某种方式证明它，或者我可以说，例如，你所描述的，例如，我编辑了我的答案，包括额外的步骤来证明。