Algorithm 最大堆中的第k个最大元素

我试图想出一些办法来解决以下问题：

给定一个表示为数组的最大堆，返回第k个最大元素而不修改堆。我被要求在线性时间内完成，但被告知可以在日志时间内完成

我想到了一个解决办法：

使用第二个max堆，并在其中填充k或k+1值（宽度优先遍历原始堆），然后弹出k个元素并获得所需的元素。我想这应该是O（N+logN）=O（N）

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是否有更好的解决方案，也许在O（logN）时间内？

据我所知，解决这个问题没有简单的算法。我所知道的最好的算法是弗雷德里克森的，这并不容易。您可以查看它在时间O（k）内运行的论文，这被认为是可能的最佳时间，因此我怀疑不存在日志时间解决方案

如果我找到比这更好的算法，我一定会让你知道的

希望这有帮助

不，没有O（logn）时间算法，通过一个简单的细胞探针下限。假设k是2的幂（不丧失一般性），堆看起来像（minheap-incoming，因为它更容易标记，但没有真正的区别）

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在最坏的情况下，我们必须读取整个排列，因为堆不存在强加的顺序关系，并且只要没有找到k，它就可以位于尚未检查的任何位置。这需要时间ω（k），与templatetypedef发布的（复杂！）算法相匹配。

最大堆可以有多种方式，更好的情况是完整排序数组，在另一种极端情况下，堆可以具有完全不对称的结构

这里可以看到：

在第一种情况下，第k个最长的元素位于第k个位置，您可以使用heap的数组表示在O（1）中进行计算。 但是，一般来说，您需要在（k，2k）元素之间进行检查，并对它们进行排序（或使用另一堆进行部分排序）。据我所知，是O（K·log（K））

算法是：

Input:
    Integer kth <- 8
    Heap heap <- {19,18,10,17,14,9,4,16,15,13,12}

BEGIN
    Heap positionHeap <- Heap with comparation: ((n0,n1)->compare(heap[n1], heap[n0]))

    Integer childPosition
    Integer candidatePosition <- 0
    Integer count <- 0
    positionHeap.push(candidate)
    WHILE (count < kth) DO
        candidatePosition <- positionHeap.pop();
        childPosition <- candidatePosition * 2 + 1
        IF (childPosition < size(heap)) THEN
            positionHeap.push(childPosition)
            childPosition <- childPosition + 1
            IF (childPosition < size(heap)) THEN
                positionHeap.push(childPosition)
            END-IF
        END-IF
        count <- count + 1
    END-WHILE
    print heap[candidate]
END-BEGIN

输入：
整数kth数组中的最大堆：
i处的元素大于2*i+1和2*i+2处的元素（
i
基于0）

您将需要另一个最大堆（
insert
，
pop
，
empty
），其中的元素对
（值，索引）
按
值
排序。伪代码（无边界检查）：

输入：k
1.插入（在（0），0处）
2.（v，我）明白了，谢谢，但在这种情况下，我仍然认为你的算法是错误的，因为树的广度优先搜索不会正常工作？我想它应该会工作。我错误地使用了术语“搜索”，基本上我只是在搜索一个遍历，它存储一个级别的节点，然后继续下一个级别。我将编辑该术语以消除任何潜在的歧义。我认为斐波那契堆是实现摊销O（logn）解决方案的方法，但我喜欢这个问题。我要考虑一下…@Alstor我认为你的解决方案不对，因为第k个最大元素不需要在树的第k级。@Alstor如果你只是要遍历树并使用堆栈，那么为什么要使用第二个最大堆，因为遍历不会修改堆？标题说最大堆中的第k个最大元素（不是任意数组）。因此，不存在min heap到来的问题。您概述的最坏情况不适用，因为它是最大堆，所以父节点总是高于其子节点。@Kishore我的回答是，在最坏情况下，堆结构不会施加太多的结构。您能为语句“通常，您需要在（k，2k）元素之间进行检查”提供站点引用吗？例如，在图像中，第七大元素9位于索引1处，而在图像中，第四大元素12位于索引14处。所以我猜这个说法是错误的。@anir在你的第一个例子中，你怎么知道第七大元素是什么？要确定哪一个是第七大元素，您必须评估9个元素。所以我认为，通过“检查（k，2k）元素之间的关系，并对它们进行排序”，您的意思是对堆数组索引k和2k之间的元素进行排序。现在我觉得，这不是你想说的，对吧？我说这是错误的，因为在第一个例子中，9是第七大元素，但出现在索引1处。因此，我们无法通过对索引7和14之间的元素进行排序（然后从中选择最小的元素），将9确定为第七大元素。类似地，在第二个示例中，第四大元素12出现在索引14处。因此，我们无法通过对指数4和8之间的元素进行排序来确定12为第四大元素。（续…（续…）可能是本可以避免混淆的例子。现在我觉得您谈论的是与这些答案中解释的相同的过程：，而不是直接在索引k和2k之间对堆数组元素进行排序（然后从排序输出中选择最小值），对吗？
Input:
    Integer kth <- 8
    Heap heap <- {19,18,10,17,14,9,4,16,15,13,12}

BEGIN
    Heap positionHeap <- Heap with comparation: ((n0,n1)->compare(heap[n1], heap[n0]))

    Integer childPosition
    Integer candidatePosition <- 0
    Integer count <- 0
    positionHeap.push(candidate)
    WHILE (count < kth) DO
        candidatePosition <- positionHeap.pop();
        childPosition <- candidatePosition * 2 + 1
        IF (childPosition < size(heap)) THEN
            positionHeap.push(childPosition)
            childPosition <- childPosition + 1
            IF (childPosition < size(heap)) THEN
                positionHeap.push(childPosition)
            END-IF
        END-IF
        count <- count + 1
    END-WHILE
    print heap[candidate]
END-BEGIN

input: k
1. insert (at(0), 0)
2. (v, i) <- pop and k <- k - 1
3. if k == 0 return v
4. insert (at(2*i+1), 2*i+1) and insert (at(2*+2), 2*+2)
5. goto 2