Algorithm 使用单个堆栈生成置换

有人能解释一下当只使用一个堆栈时生成排列的算法吗？push和pop是唯一允许的操作。 我找了很多，但没有确切的答案。 同样，这种排列的总数由加泰罗尼亚数给出。但我没能找到证据。如果可能的话，请解释一下

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谢谢

此问题使用输入队列、输出队列以及堆栈

操作包括“将项目从输入队列推送到堆栈”和“将项目从堆栈弹出到输出队列”

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输出输入
\ /
首先，在以下假设下，不可能为任意排列编写这样的算法：

只能按顺序读取输入

写入输出类似地按顺序进行，写入输出的数据一经写入就无法读取

除了一个堆栈之外，只允许使用恒定的内存量。（这意味着没有额外的递归或数据结构）

这是上下文无关语言的泵引理的结果：

维基：

（也可以查阅：Michael Sipser（1997）。计算理论导论。我相信这是第4章中的练习之一。）

现在，您可以轻松实现一个算法，通过打破这些假设中的任何一个来解决这个问题。例如，如果可以任意读取输入，则不需要堆栈：

def permute(seq, permutation):
    result = []
    for i in permutation:
        result.push(seq[i])
    return result

或者，如果你修正了一个排列，问题就变成有限的，你同样不需要堆栈。您只需将通常的算法展开为所有输入的特殊情况（即，就像在编译器中进行部分求值一样）。这太可怕了，所以我不想写下所有的细节，但它仍然有效，因为可能输入的总数是一个固定的（但很大！）常数。
我也在考虑同样的问题，最后编写了一个小的序言程序来生成排列，并“发现”了与加泰罗尼亚数字的关系，然后找到了你的问题。这并不是对你问题的真正回答，但这是序言程序：

% Generate permutation counts
count_pushpop(N-K) :-
    length(_, N),
    findall(Seq, pushpop(N, Seq), Seqs),
    length(Seqs, K).


% Create an integer sequence from 1 to N
% and permutate it using all possible push-pop
% operations starting with an empty stack.
pushpop(N, Seq) :-
    numlist(1, N, List),
    pushpop(List, [], Seq).


% Generate all the possible ways a list
% of items can be pushed into a stack
% and poped out of it.
pushpop([], [], []).

pushpop([H | List], Stack, Seq) :-
    pushpop(List, [H | Stack], Seq).

pushpop(List, [H | Stack], [H | Seq]) :-
    pushpop(List, Stack, Seq).

证明不是所有的
n排列是可能的：

?- findall(Seq, pushpop(3, Seq), Seqs).
Seqs = [[3, 2, 1], [2, 3, 1], [2, 1, 3], [1, 3, 2], [1, 2, 3]].

它生成加泰罗尼亚数字的证据（如果不是堆栈溢出，这将是一个证据；）：

我不理解“单堆栈”的要求。如果我使用一个附加的数据结构，它不是一个“堆栈”，而是一个“数组”或“队列”或“列表”，该怎么办。这样行吗？我想那是不允许的。但在这种情况下，我不明白这怎么可能。为了在堆栈中的深度
n
处检索元素，必须弹出并存储位于其顶部的
n
元素，从而需要额外的
O（n）
内存。我遗漏了什么吗？另外，可能可以使用语言级递归实现它，这意味着第二个堆栈将隐式地作为嵌套函数调用的本地上下文的“堆栈”出现。这允许吗？我猜这是关于递归的奇怪作业？编辑哈哈，奥黛丽，你在我做同样的事情时把它打出来了。这个排列应该如何表示？它是在运行时固定的还是动态指定的？应该如何处理输出？它是一个接一个地发送到只读输出队列中，还是仅仅存储在堆栈中？另外，如何指定输入？是否再次将其预加载到堆栈上？允许多少暂存内存？单堆栈的意思是只允许push和poop操作。输入是以队列的形式出现的，如1、2、3、4、5，一旦元素被弹出，它就会被发送到输出队列，并且不能被推回。
?- findall(Seq, pushpop(3, Seq), Seqs).
Seqs = [[3, 2, 1], [2, 3, 1], [2, 1, 3], [1, 3, 2], [1, 2, 3]].

?- count_pushpop(N-K).
N = K, K = 0 ;
N = K, K = 1 ;
N = K, K = 2 ;
N = 3,
K = 5 ;
N = 4,
K = 14 ;
N = 5,
K = 42 ;
N = 6,
K = 132 ;
N = 7,
K = 429 ;
N = 8,
K = 1430 ;
N = 9,
K = 4862 ;
N = 10,
K = 16796 ;
N = 11,
K = 58786 ;
N = 12,
K = 208012 ;
ERROR: Out of global stack