Algorithm 找到从一个节点到另一个节点的成本最低的最短路径？

我有一个加权图G和一对节点s和t。我想找到，从s到t的所有路径中，边数最少的一条，总成本最低的一条。我不知道该怎么做。以下是我的想法：

• 我正在考虑寻找最短路径，如果有多条路径，那么我应该比较这些路径的步数

• 我想我可以通过将所有边的权重设置为1并计算距离来找到步数

---

一个合理的起点是Dijkstra算法，它可以解决这个问题的每一部分（最小化边数或最小化总长度）。挑战在于让它同时做到这两个方面

通常，当谈到最短路径时，我们认为路径具有单一成本。但是，您可以想象为路径分配两种不同的成本：一种成本完全基于边的数量，另一种成本完全基于这些边的权重。然后可以将路径的成本表示为一对（长度、权重），其中长度是路径中的边数，权重是所有这些边的总权重

想象一下在图上运行Dijkstra算法，并进行以下修改。首先，不是跟踪到图中每个节点的候选距离，而是跟踪到每个节点的一对候选距离：候选长度和候选权重。其次，每当需要获取最低的代码节点时，选择长度（而不是重量）最短的节点。如果具有相同长度的多个节点之间存在连接，请通过选择权重最低的节点来打破连接。（如果你听说过词典编纂顺序，你可以把它看作是一个节点（长度，重量）首先是词典编纂的）。最后，无论何时通过将路径延伸一条边来更新距离，都要更新该节点的候选长度和候选权重。您可以显示此过程将计算到每个节点的最佳路径，其中“最佳”表示“所有边数最少的路径中，成本最低的路径。”

您也可以通过修改图中边的所有代价来实现上述技术。假设图中的最大成本边具有成本U。然后执行以下操作：将U+1添加到图中的所有成本，然后对结果运行Dijkstra算法。这样做的净效果是，新图形中的最短路径将是使所用边数最小化的路径。为什么？每一条边都会给路径的代价加上U+1，并且U+1大于图中任何一条边的代价，因此如果一条路径比另一条路径便宜，那么它要么使用最少一条边，要么使用相同数量的边，但权重较低。事实上，你可以证明这种方法与上面使用成对权重的方法基本相同——这是一个很好的练习

---

总的来说，这两种方法都将与普通的Dijkstra算法（O（m+n log n）与Fibonacci堆，O（m log n）与另一种堆）同时运行，这非常酷

一个合理的起点是Dijkstra算法，它可以解决这个问题的每一部分（最小化边数或最小化总长度）。挑战在于让它同时做到这两个方面

通常，当谈到最短路径时，我们认为路径具有单一成本。但是，您可以想象为路径分配两种不同的成本：一种成本完全基于边的数量，另一种成本完全基于这些边的权重。然后可以将路径的成本表示为一对（长度、权重），其中长度是路径中的边数，权重是所有这些边的总权重

想象一下在图上运行Dijkstra算法，并进行以下修改。首先，不是跟踪到图中每个节点的候选距离，而是跟踪到每个节点的一对候选距离：候选长度和候选权重。其次，每当需要获取最低的代码节点时，选择长度（而不是重量）最短的节点。如果具有相同长度的多个节点之间存在连接，请通过选择权重最低的节点来打破连接。（如果你听说过词典编纂顺序，你可以把它看作是一个节点（长度，重量）首先是词典编纂的）。最后，无论何时通过将路径延伸一条边来更新距离，都要更新该节点的候选长度和候选权重。您可以显示此过程将计算到每个节点的最佳路径，其中“最佳”表示“所有边数最少的路径中，成本最低的路径。”

您也可以通过修改图中边的所有代价来实现上述技术。假设图中的最大成本边具有成本U。然后执行以下操作：将U+1添加到图中的所有成本，然后对结果运行Dijkstra算法。这样做的净效果是，新图形中的最短路径将是使所用边数最小化的路径。为什么？每一条边都会给路径的代价加上U+1，并且U+1大于图中任何一条边的代价，因此如果一条路径比另一条路径便宜，那么它要么使用最少一条边，要么使用相同数量的边，但权重较低。事实上，你可以证明这种方法与上面使用成对权重的方法基本相同——这是一个很好的练习

---

总的来说，这两种方法都将与普通的Dijkstra算法（O（m+n log n）与Fibonacci堆，O（m log n）与另一种堆）同时运行，这非常酷

一个节点到另一个节点将是最短路径算法（例如Dijkstra）。 这取决于您的输入是否使用启发式函数来确定