Algorithm 如何证明分数背包具有贪婪策略。？

如何证明分数背包具有贪婪策略

我实际上可以做到，但我找不到一种方法从理论上证明它

请帮忙 提前感谢

（原始）分数背包LP

maximize sum_{i=1}^n v_i x_i
subject to
y: sum_{i=1}^n w_i x_i <= W
z_i: x_i <= 1  (for i=1 to n)
x_i >= 0  (for i=1 to n),

通过（弱）LP对偶，如果原始的贪婪解与对偶的解具有相同的目标，则两者都是最优的。假设所有权重均为正，它们的总和大于

W

，并且项目的顺序为

v_1/W_1>=v_2/W_2>=…>=v_n/w_n

。让

j

作为轴心项，这样贪婪的原始解就是

x_1, x_2, ..., x_{j-1} = 1
x_j = (W - sum_{i=1}^{j-1} w_i) / w_j
x_{j+1}, x_{j+2}, ..., x_n = 0.

通过互补松弛，我们可以猜测，在对偶中，我们应该

z_j, z_{j+1}, ..., z_n = 0.

对偶中的

x_i

约束相当于

y + z_i/w_i >= v_i/w_i,

所以我们需要设置

y >= v_j/w_j >= v_{j+1}/w_{j+1} >= ... >= v_n/w_n

为了满足我们已经归零的约束条件

z_i

。凭直觉，我们决定

y = v_j/w_j,

直觉上，这会迫使你完成任务

z_i = (v_i/w_i - v_j/w_j) w_i  (for i=1 to j-1).

现在，这一论点中唯一需要严格的部分来了：验证这是对偶的可行解决方案（冗长乏味，因此留作练习），并且目标匹配贪婪的原始解决方案。目标是

W y + sum_{i=1}^{j-1} z_i =
W (v_j/w_j) + sum_{i=1}^{j-1} (v_i/w_i - v_j/w_j) w_i =
sum_{i=1}^{j-1} (v_i/w_i) w_i + (v_j/w_j) (W - sum_{i=1}^{j-1} w_i) =
sum_{i=1}^{j-1} v_i + ((W - sum_{i=1}^{j-1} w_i) / w_j) v_j,

---

这确实是首要目标。

我们需要证明这个问题具有贪婪选择性质。要做到这一点，我们需要证明，任何不包含贪婪选择

a

的解决方案

X

在与

a

交换一些选择后，都不会得到更差的解决方案

对于分数背包，这很容易显示：我们取

X

的任何元素，比如

b

。如果wa>=w'b（其中wa是

a

的权重，w'b是

b

在溶液

X

中的权重），我们可以用

a

尽可能大的一部分替换

b

。因为

a

是具有最大值密度的项（这是我们贪婪的选择），这不会使解决方案变得更糟。如果waa，并使w'b=w'b-wa。同样，由于

a

具有最大的值密度，这不会使解决方案变得更糟

---

就这样！从技术上讲，我们也需要展示最优子结构，但这对于这个问题来说应该相当简单。

你希望得到什么样的答案？我可以写一个理论上的答案来证明这个问题。这个问题很有趣，但看起来像一个家庭作业！没有任何努力去解决它！

W y + sum_{i=1}^{j-1} z_i =
W (v_j/w_j) + sum_{i=1}^{j-1} (v_i/w_i - v_j/w_j) w_i =
sum_{i=1}^{j-1} (v_i/w_i) w_i + (v_j/w_j) (W - sum_{i=1}^{j-1} w_i) =
sum_{i=1}^{j-1} v_i + ((W - sum_{i=1}^{j-1} w_i) / w_j) v_j,