Algorithm 查找不同类型的连接组件

我想将有向图中的单连通组件定义为子图，其中对于每对节点u和v，存在从u到v或从v到u的路径。它还应该具有这样的属性：它不是另一个单连通组件的子图

我知道如何找到弱连接和强连接的组件。如何找到uni连接的组件

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一个非常低效的方法可能会从每个节点进行广度搜索，以查看哪些节点可以从中访问，并尝试以某种方式从这些节点集计算组件。

一个最大单连通子图（我拒绝称它们为“组件”，因为基础关系是不可传递的）包含所有强连接组件或不包含强连接组件。作为枚举最大单连通子图的第一步，然后将每个SCC折叠到单个顶点（即，计算输入图的压缩）

无环有向图的单连通子图具有这样的性质：对于不同的节点u和v，要么存在从u到v的路径，要么存在从v到u的路径，但不是两者都存在。如果存在从u到v和u的路径，则写入u 这里有一个枚举有向图G的最大单连通子图的算法

找到G的强组分。收缩它们，产生凝结G'

计算G'的传递约简G'

通过深度优先搜索等方式枚举所有源-汇路径，然后用g中的强组件替换每个节点

这是一个图族，它具有指数级多个最大单连通子图。所有边都向下

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构造一个无向图G，该图与原始图具有相同的节点集，并且每对节点之间有一条边，该边在原始图的任意方向上由一条边连接

通过广度优先搜索找到G的连通分量。循环遍历节点，但仅在不属于以前找到的任何组件的节点上启动新搜索。见（）

每个组件的节点也构成原始有向图的单连通组件的节点

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我现在了解到，在无向图的子集中，每个节点都必须有一个到其他节点的边到边，因此需要的是G中的a，而不是G的连通子图。不幸的是，问题的决策形式是NP完全的，函数形式是NP难的

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请参阅以获得一些查找该集团的免费选项。

这是您的定义：“存在从u到v或从v到u的路径”-但不存在从v到u和从u到v的路径？？？我想说这是对@fall的调用，因为图形是定向的，我不要求在两个方向上都有路径。可能有，但不是必需的。您的意思是“对于子图中的每一对节点u和v”？不“单连通”的连通子图的示例是什么？所有单连通图都是弱连通的，但可能不是强连通的。例如，具有两个节点A->B的简单图是单连通的，但不是强连通的。图A->B很遗憾给出了错误的答案。考虑A- >B@phoenix. 我懂了。我被连通子图的概念弄糊涂了。你实际上是在找一个小集团。这意味着你的问题是NP完全问题。我会相应地修改我的答案。我认为这不对。请看另一个答案，它有一个多时间解。@phoenix如果我现在理解了你的问题，最大团，一个基于无向图的经典NP完全问题，可以通过构造一个有向图来简化为你的问题，该有向图在原始图的每个无向边上都有一条任意方向的边。最大组将包含与您的一个组件相同的节点。谢谢。所以我明白了，第二步在实践中需要立方时间？步骤3的最坏情况复杂度是多少？@phoenix-Exponential，但这只是因为可以有很多单连通子图（请参阅我编辑的答案以获取示例）。对于任何图，覆盖每个节点的最大单连通子图的最小数目始终是线性的。如果能够输出这样一个最小覆盖，那将是很有帮助的。这就是我的想法。在你的算法中，第二步的多边形时间是多少？是的，有线性大小的覆盖。在步骤3中，不是查找所有路径，而是查找其并集包含所有顶点的最小大小的路径集，即a。我认为总体运行时间主要由立方时间传递缩减决定。如果单连通子图的最大化对您来说并不重要，除非是为了最小化所使用的子图的数量，那么您可以省略传递约简，并且运行时间将由查找封面（看起来像是Hopcroft--Karp的一次调用）来决定。这看起来非常好。非常感谢。现在要是有人能投票支持你的答案就好了！