Algorithm 利用电晕限制优化活动座位分配

问题： 给定一组组注册，每个注册针对不同数量的人（1-7）， 以及一组1-4个座位不等的座位组（不变，至少相隔2米）， 我想找到座位组的最佳人员分配：

• 人员组可分为几个座位组（但最好不分）
• 座位组不能由不同的人群共享
• （可选）分配应尽量减少“浪费”座位的数量，即最大限度地增加空座位组中的座位数量
• （理想情况下，它应该在谷歌应用程序脚本中运行，因此内存和计算复杂性应该尽可能小）

第一次尝试： 我对决策问题（是否可行？）以及优化问题（参见可选优化函数）感兴趣。我将其建模为SAT问题，但这并没有找到最佳解决方案

出于这个原因，我尝试将其建模为一个优化问题。我正在考虑（远程）多种背包的变化，但我还不能命名：

• 项目：座位组（尺寸->重量）
• 背包：人员组（大小->容器大小）
• 约束：组合项目重量>=容器大小
• 优化：最小化项目数量

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如您所见，与标准问题相比，约束和优化是反向的。所以我的问题是：我在这条路上走对了吗？还是你会用另一种方式？如果它是正确的，这个优化问题有名字吗？

你可以把它看作一个整数线性规划问题，定义如下：

let P = the set of people groups, people group i consists of p_i people;
let T = the set of tables, table j has t_j places;
let x_ij be 1 if people from people group i are placed at table j, 0 otherwise
let M be a large penalty factor for empty seats
let N be a large penalty factor for splitting groups

     // # of free spaces = # unavailable - # occupied
     // every time a group uses more than one table,
     // a penalty of N * (#tables - 1) is incurred
min  M * [SUM_j(SUM_i[x_ij] * t_j) - SUM_i(p_i)] + N * SUM_i[(SUM_j(x_ij) - 1)]

     // at most one group per table
s.t. SUM_i(x_ij) <= 1 for all j

     // every group has enough seats
     SUM_j(x_ij * t_j) = p_i for all i

     0 <= x_ij <= 1

设P=人员组集合，人员组i由P_i人员组成；
设T=表集合，表j有T_j个位置；
如果将来自人员组i的人员放在表j中，则x_ij为1，否则为0
设M为空座位的大惩罚因子
设N是分裂群的一个大惩罚因子
//#可用空间数=#不可用-#已占用
//每次一个组使用多个表时，
//产生N*（#表-1）的罚款
最小M*[SUM_j（SUM_i[x_ij]*t_j）-SUM_i（p_i）]+N*SUM_i[（SUM_j（x_ij）-1]
//每桌最多一组
s、 t.SUM_i（x_ij）相关：由于您已经将问题建模为SAT问题，您可以使用加权MaxSAT来解决优化问题。@tphilipp好建议，我将研究它。我认为我的SAT解决方案可能不是最好的，因为它需要很多子句：关于sp²子句和sp变量，p是人数，s是座位数。相比之下，鲁本下面的ILP解决方案没有对个人或座位进行建模，将问题规模减少了约20倍，甚至减少了约束的数量（组*#表）。我想知道，使用此SAT解决方案的加权MaxSAT或Ruben提出的解决方案的任何ILP解算器是否可能运行更多的内存和时间效率。@Josta改进SAT编码的方法有很多。有时，即使在子句或变量上出现二次放大，也没有必要对其进行改进。取决于用例，SAT/MaxSAT可以显著优于ILP，或者可以解决ILP解算器根本无法解决的实例。另一个方向也适用我喜欢这个解决方案的简洁性和可扩展性，但我和你一样担心ILP解算器可能无法在谷歌应用程序中运行，即使是小规模的问题（但我没有LP经验）。如果我没有弄错的话，
M*[SUM_j（t_j）-SUM_I（p_I）]
是一个不变量。你可能想写一些类似于
M*[SUM_j[（1-MULT_i（1-x_ij））*t_j]-SUM_i（p_i）]
？我还假设它应该是伪代码倒数第二行中的
SUM_j
，你说的
SUM_j
是对的
M*[SUM_j（t_j）-SUM_i（p_i）]
确实是一个不变量，但我将
SUM_j（t_j）
更改为
SUM_j（SUM_i[x_ij]*t_j）
以确保不计算自由表。由于另一个约束，
SUM_i[x_ij]
对于每个表是0或1